量子力学教程Ch4-4.ppt

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1、狄拉克PAULDIRAC狄拉克（1902—1984）是英国物理学家。科学成就狄拉克对物理学的主要贡献是发展了量子力学，提出了著名的狄拉克方程，并且从理论上预言了正电子的存在。(一）引(二)态矢量（三）算符（四）总结4.5狄喇克符号前三章给出的都是X-表象中的形式，本章中给出了任一力学量Q-表象中的形式，它们都是取定了某一具体的力学量空间,即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式A来表示一个矢量，而不用具体坐标系中的分量(Ax,Ay,A

2、z)表示一样。量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以该方法所使用的符号称为Dirac符号。(一）引言4.5狄喇克符号（1）右矢空间前面已经讲过，一个状态通过一组力学量完全集的测量（完全测量）来确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。例如：一维线性谐振子其状态由量子数n确定，记为ψn(x)；氢原子的状态由量子数n,l,m确定，记为ψnlm(r,,)，如此等等。在抽象表象中Dirac用右矢空间的一个矢量

3、>与量子状态相对应，该矢量称为右

4、矢。

5、n>ψn(x)；

6、n,l,m>ψnlm状态

7、n>和

8、n,l,m>亦可分别记成

9、ψn>和

10、ψnlm>。对力学量的本征态可表示为

11、x>,

12、p>,

13、Qn>...等。因为力学量本征态构成完备系，所以本征函数所对应的右矢空间中的右矢也组成该空间的完备右矢（或基组），即右矢空间中的完备的基本矢量（简称基矢）。右矢空间的任一矢量

14、ψ>可按该空间的某一完备基矢展开。例如：(二)态矢量4.5狄喇克符号（2）左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为<

15、。例如：Dirac符号右矢空间

16、和左矢空间称为伴空间或对偶空间，<ψ

17、和

18、ψ>称为伴矢量。

19、,

20、,

21、组成左矢空间的完备基组，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基矢展开。4.5狄喇克符号（3）

22、ψ>和<ψ

23、的关系

24、ψ>按Q的左基矢

25、Qn>展开

26、ψ>=a1

27、Q1>+a2

28、Q2>+...+an

29、Qn>+...展开系数即相当于Q表象中的表示：<ψ

30、按Q的左基矢

31、展开：<ψ

32、=a*1

33、+a*2

34、+...+a*n

35、+...展开系数即相当于Q表象中的表示：ψ+=(a*1,a*2,

36、...,a*n,...)同理某一左矢量<φ

37、亦可按Q的左基矢展开：<φ

38、=b*1

39、+b*2

40、+...+b*n

41、+...定义

42、ψ>和<φ

43、的标积为：显然<φ

44、ψ>*=<ψ

45、φ>这就是用Dirac表示的波函数归一化条件。由标积定义得:4.5狄喇克符号本征态的正交归一化条件可写为：由此可以看出

46、ψ>和<ψ

47、的关系：1）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；2）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一

48、复数。（4）本征函数的封闭性展开式两边左乘

49、得:将an代回原式得：因为

50、ψ>是任意态矢量，所以成立。本征矢

51、Qn>的封闭性I分立谱4.5狄喇克符号对于连续谱

52、q>，q取连续值，任一状态

53、ψ>展开式为：II连续谱左乘

54、代入原式因为

55、ψ>是任意态矢，所以有同理，对于

56、x’>和

57、p'>分别有这就是连续本征值的本征矢的封闭性。由于所以它们也称为单位算符，在运算中可插入（乘到）公式任何地方而不改变原公式的正确性。例如：在

58、ψ>左侧插入算符同理即得态矢按各种力学量本征矢的展开式4.5狄喇克符号投影算符

59、

60、Qn>

61、或

62、q>

63、的作用相当一个算符，它作用在任一态矢

64、ψ>上，相当于把

65、ψ>投影到左基矢

66、Qn>或

67、q>上，即作用的结果只是留下了该态矢在

68、Qn>上的分量

69、ψ>或

70、ψ>。故称

71、Qn>

72、和

73、q>

74、为投影算符。因为

75、ψ>在X表象的表示是ψ(x,t)，所以显然有：封闭性在X表象中的表示左乘

76、右乘

77、x'>正交归一性的表示式是对坐标的积分封闭性表示式是对本征值求和或积分所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本

78、征函数完备性的表示。分立谱连续谱封闭性与正交归一性比较在形式上二者相似区别4.5狄喇克符号(1)右矢空间在抽象的Dirac表象Dirac符号的特点是简单灵活。如果欲把上式写至Q表象，则只需在适当位置插入单位算符。左乘

79、把公式变到Q表象算符F在Q表象中的矩阵表示的矩阵元Fmn写成矩阵形式ψ=FφQ表象X表象（三）算符4.5狄喇克符号平均值公式插入单位算符（2）共轭式（左矢空间）表明量子力学中的力学量既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上。