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1、周易研究1095年第3期(总第二十五期)从古老的《周易》到最新的IMO试题欧阳维诚一、IMO简介r,ntenationaateatieaaIMO是国际数学奥林匹克(IlMhmlOlympid)的简称它是世界上。规模最大和影响最大的国际中学生学科竞赛活动如果说体育奥林匹克是人类体能的大,。,赛那么数学奥林匹克则是中学生智能的大赛它不仅推动了各国数学的交流促进了数,,学教育水平的提高增进了各国青年学生的相互了解同时激发了广大中学生对学习数学,.的兴趣有助于发现和培养人才这项活动为各国表现本民族的聪明才智提供了合适的舞,。台因而受到越来越多的国家的重视,,。IMO于1959年7月
2、于罗马尼亚首次举行以后每年一次到1993年已举行了34届.,,.,竞赛分两天进行每天45小时共解答6道试题各国代表队最多能派出6名正式选手。.2名候补选手主办竞赛的东道主由参赛的国家或地区轮流担任,竞赛的试题由各参赛国先提供一些预选题(主办国不能提供)由主办国筛选出约30,、,道题目在竞赛前夕提交给由各国领队组成的主试委员会讨论研究最后通过无记名投,票的方式从中选出6逆题目作为正式试题(从讨论开始各国领队即被隔离直至竞赛结束。,竞赛活动由各国副领队组织)这些试题的难点往往不在于学生所掌握的数学知识的多,、、。,少而在于对数学本质的洞察夕创造力和数学机智例如1988年在澳大利
3、亚举行的第:29届IMO的第6题是由德国提供的一进数论题“,,:忿,aaaa已知正整数和b使得b+1整除+bz求证(+b)/(ab+1)是某个正整数的”。,,,平方据有关人士透露主办国澳大利亚在筛选这道题目时为了确定试题的难度曾经,,。请了三名数论专家试解此题三位数学家做了4个小时居然没有触及到问题的本质可,.见IMO试题确有相当的难度且难度有逐年增加之势,,由于种种原因我国到1986年才正式派出代表队参加在波兰举行的第27届IMO,。,自此以后一直参加历届的竞赛活动中国队参加国际数学奥林匹克虽然起步较晚但自,。,参赛以后却一鸣惊人取得了举世瞩目的成就在从第27届到第34届
4、的8届IMO中中、、,、国队先后于第30届第31届第3届和第34届取得总分第一名在第29届32届取得。,总分第二名1993年7月在士耳其的伊斯坦布尔举行的最新一届即第34届IMO中中97,。国队的6名选手全部获得金牌并以遥遥领先于第二名的成绩取得团体总分第一二、一道最新试题与易卦的联系,1993年的第34届IMO的第6题是一道难度很大但却饶有兴味的问题这个试题是:这样的.“,。,,,一,,6n1设是一个大于的整数有几个灯LL⋯⋯Ln作环状排列每个灯的状态“”“”.。,,,。,,jj要么开要么关现在进行一系列的步骤SS⋯S⋯步骤S按下列规则影响L的:状态(它不改变其它所有灯的
5、状态)一:“”,,“”“”“”“”,如果乙是开的则Sj改变Lj的状态使它从开到关或者从关到开一,“”,,,,如果Lj是关的则S不改变L的状态,,n上面的叙述中灯的编号应按mod同余的方式理解即一:一:,。。,,。,,+L~以L~LL~L⋯“”,:假设开始时全部灯都是开的求证a,“”;()存在一个正整数M(n)使得经过M(n)个步骤后全部灯再次全为开的,,,“”n“n;(b)若是2型的数则经一1个步骤之后全部的灯都是开的,,,“”。”。n1nn1()若为2k+型的数则经一+个步骤之后全部的灯都是开的,,,这道试题构思巧妙题型新颖而且有相当的难度无怪乎主试委员会将它作为本届.,
6、,.,IMO的压台题各国天才的竞赛选手绞尽脑汁想出了一些巧妙的解法但是无论是命,题者或竞赛者大概都不会想到这样一个现代化的数学竞赛试题却与中国古老的儒家经.典《周易》有着密切的有趣的联系,“”众所周知《周易》的重要组成部分易卦是由分别叫做阳艾和阴艾的两种符号一和“”,,:一从下到上顺次排列6个而成的图形如,,,,,乾鑫坤韭屯班蒙葵需奎讼羹,“”,。16n易卦每卦有6交七日来复第7交可看作回到了第艾如果我们把艾卦推广到,,,,.nn1n艾并且按循环第+1交被看作回到了第艾第十2艾回到了第2交余可类推,6nn我们将第34届IMO的第题(以下简称试题)中所说的个灯的初始状态即个“
7、”。,::,::灯全开的状态记作T经过步骤S后所得的新状态记作TT经过步骤S后所得的:,。,一】i,,n新状态记为T余可类推一般地Ti经过步骤S得到的新状态记为T那么个灯的;n:,每一种状态T都可以和一个交卦对应起来卦的第1交代表Ti的第一个灯第2交代。,。“”,“”,“”,表T的第2个灯余可类推如果灯是开的则相应的艾是阳交一如果灯是关的“”.,i,一nn则相应的交是阴交因此题目中的个灯的一种状态T就是一个艾卦我们不妨i,,“”,。nn把此卦也记为T特别地个灯全开的初始状态就是个艾都是阳艾的乾卦,“”.一1n题目中
