高数：定积分的概念与微积分基本定理.ppt

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1、第八讲定积分的概念与微积分基本定理定积分的概念与性质变上限积分的概念与定理牛顿-莱布尼茨公式讨论或证明变上限积分的特性abxyo实例1（求曲边梯形的面积）1.1问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为1.2定积分的定义定义被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和注意：定理1定理21.3存在定理曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值1.4定积分的几何意义几何意义：思考题将和式极限：表示成定积分.思考题解答原式观察下列演示过程，

2、注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积

3、的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．对定积分的补充规定:说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．1.5基本性质证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1证性质2补充：不论的相

4、对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3性质4性质5解令于是性质5的推论：证（1）证说明：可积性是显然的.性质5的推论：（2）证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6解证由闭区间上连续函数的介值定理知1.6定积分中值定理积分中值公式使即积分中值公式的几何解释：解由积分中值定理知有使１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．二、小结考察定积分记积分上限函数2积分上限函数及其导数积分上限函数的性质证由积分中值定理得补充证例1求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.证证令定理3（微积

5、分基本公式）证3、牛顿—莱布尼茨公式令令牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.例4求原式例5设,求.解解例6求解由图形可知例7求解解面积3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数四、小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．思考题思考题解答