§2.3三次样条插值.ppt

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1、§2.3三次样条插值总结2.3.4三次样条插值函数的误差估计2.3.3三转角算法2.3.2三弯矩算法2.3.1三次样条插值函数的概念2.3三次样条插值学习目标：知道三次样条插值函数的概念，会求三次样条插值函数，进行误差分析。高次插值出现龙格现象L-插值（牛顿插值）Hermite插值分段插值但分段线性插值在节点处不一定光滑分段Hermite插值但导数值不容易提取（找到）三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段Hermite插值解决问题）举例：1汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；2木样条的来源。2.3.1三次样条插值函数的概念一、背景二、样条函数的定义

2、设在区间　上取　个节点给定这些点的函数值　若　　满足条件：(3)在每个小区间　上，　是三次多项式。则称为三次样条插值函数。定义9（3次样条函数）提出问题：3次样条插值函数是否存在？是否唯一？如何计算？误差估计？三次样条插值函数是分段三次多项式，在每个小区间　上可以写成其中和为待定系数。所以，共有　个待定参数。根据　在　　　上二阶导数连续的条件，在节点处应满足连续性条件n4共有　个条件。再加上　个插值条件，共有　个条件。因此，还需要2个条件才能确定　。通常在区间　端点　　　　和　上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。通常有以下三种：（1）已知两端的一

3、阶导数值，即（2.3.1）（2）已知两端的二阶导数值，即（2.3.2）其特殊情况为（3）周期边界条件此时，对函数值有周期条件注：一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。2.3.2三弯矩算法三次样条插值函数可以有多种表达式，有时用二阶导数值表示时，使用更方便。在力学上解释为细梁在处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用表示　的算法为三弯矩算法。对　积分两次,并利用插值条件定出积分常数,可以得到(2.3.4)由于在区间　上是三次多项式，故在　上是线性函数，可表示为其中这是三次样条插值函数的表达式，当求出后,就由(2.3.4)完全确定.对求导得由此可得当　　时,

4、的表达式由(2.3.4)平移下标可得,因此有利用条件　得(2.3.5)其中(2.3.6)(2.3.7)方程组(2.3.5)是关于　的方程组,有个未知数,但只有个方程.可由(2.3.1)—(2.3.3)的任一种边界条件补充两个方程。对于边界条件（2.3.1），可以导出两个方程(2.3.8)这样,由(2.3.5)和(2.3.8)可解出，从而得的表达式(2.3.4),若令则(2.3.5)和(2.3.8)可以写成矩阵形式(2.3.9)对于边界条件(2.3.2),直接得(2.3.10)将(2.3.10)代入(2.3.5)可解出若令则(2.3.5)和(2.3.10)可以写成(2.

5、3.9)的形式。对于边界条件（2.3.3），有（2.3.11）由(2.3.5)和(2.3.11)可解出，方程组的矩阵形式为（2.3.12）其中实际上,方程组（2.3.9）和（2.3.12)的系数矩阵是一类特殊的矩阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这类方程组的解法和性质。例2.9设在节点　上，函数　的值为，　　　　　　　　　　　　。试求三次样条插值函数，满足条件解（1）利用方程组（2.3.9）进行求解，可知。经简单计算有。由此得（2.3.9）形式的方程组先消去和得由此解得　。代回方程组得用的值代入三次样条插值函数的表达式（2.3.4），经化简有（２）仍用方程组进行

6、求解，不过要注意的不同。由于和已知，故可以化简得由此解得。将　代入三次样条插值函数的表达式（2.3.4），经化简有下面构造一阶导数值　　表示的三次样条插值函数。在力学上解释为细梁在截面处的转角，并且得到的转角与相邻两个转角有关，故称用表示的算法为三转角算法。2.3.3三转角算法根据Hermite插值函数的唯一性和表达式（2.136）—（2.1.38），可设　在区间　　上的表达式为对求二次导数得于是有同理，考虑　在　上的表达式，可以得到利用条件　，得（2.3.14）其中，由（2.3.6）所示，而（2.3.15）方程组(2.3.14)是关于的方程组,有个未知数,但只有个方

7、程.可由(2.3.1)—(2.3.3)的任一种边界条件补充两个方程。对于边界条件（2.3.1），则两个方程满足方程组由此可解得，从而得　的表达式（2.3.13）。（2.3.16）若令对于边界条件（2.3.2），则可导出两个方程由(2.3.14)和(2.3.17)可解出（2.3.17）则（2.3.14）和（2.3.17）可合并成矩阵形式（2.3.18）由(2.3.14)和(2.3.19)可解出，方程组的矩阵形式为对于边界条件（2.3.3），可得（2.3.19）其中（2.3.20）在实际应用中，如果不需要规定内节点处的一阶导数值，那么使用三次样条插值函数