《三次样条插值》PPT课件.ppt

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1、总结三次样条插值函数的误差估计三转角算法三弯矩算法三次样条插值函数的概念三次样条插值三次样条插值学习目标：知道三次样条插值函数的概念，会求三次样条插值函数，进行误差分析。高次插值出现龙格现象L-插值（牛顿插值）Hermite插值分段插值但分段线性插值在节点处不一定光滑分段Hermite插值但导数值不容易提取（找到）三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段Hermite插值解决问题）举例：1汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；2木样条的来源。三次样条插值函数的概念一、背景数学里的样条(Spline)

2、一词来源于它的直观几何背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压铁(构成样条!)固定在样点上，在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线.样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较CubicSplineInterpolationLagrange定义2.8（三次样条函数）在每一个小区间上是次数多项式。若(1)中三次样条函数还满足插值条件：关于剖分称为的三次样条插值函数。，即具有连

3、续的一阶，二阶导数。满足下述条件：如果函数(1)设有对[a,b]的剖分的一个3次样条函数。为关于剖分则称函数表（2）设给定二、样条函数的定义提出问题：3次样条插值函数是否存在？是否唯一？如何计算？误差估计？问题的提法：给定数据表构造3次样条函数,满足插值条件……构造方法：S(x)应具有如下形式并且满足条件(2.42)和(2.43)分析：因上是分段3次多项式，即为4n个待定系数:从而S(x)共须4n个独立条件确定.①内部条件：S和S′,S’’在n-1个内结点连续,即满足条件(2.43),因而(2.43)给出了3(n-

4、1)个条件；(2.43)②已有条件：共有个条件,要唯一确定,还必须附加2个条件(2.42)提供了n+1个独立条件;(边界条件)。③附加2个条件，有多种给法.最常见的给法是:(a)（简支边界，导致三弯矩关系式,M关系式）,特别地,(自然边界,三次自然样条);(b)(固支边界,导致三转角关系式,m关系式).(2.44)(2.45)第3种边界条件（周期边界条件）：为周期函数，此时称为周期样条函数。亦是周期函数，周期为，即取要求注：一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。这样，由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接

5、条件，就能得出4n个方程，可以惟一确定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间xi,xi+1上的表达式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。且(1)如果是定义在上函数且已知函数表定理2.8（3次样条插值函数存在唯一）唯一3次样条插值函数,且满足(2)给定边界条件，则于存在推导方法：1、先确定插值函数在节点处的一阶导数，记为该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示。2、先确定插值函数在节点处的二阶导数，记为该方法

6、即为3次样条插值函数的二阶导数表示。------三次样条插值函数的二阶导数表示三次样条插值函数可以有多种表达式，有时用二阶导数值表示时，使用更方便。在力学上解释为细梁在处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用表示　的算法为三弯矩算法。2.3.2三弯矩算法由两点拉格朗日插值可表示为参数对上式积分,得再积分,得由条件，确定积分常数将上式代入(2.48)得到三次样条插值函数的表达式由上讨论可知,只要确定Mj(j=0,1,…n)这n+1个值,就可定出三样条插值函数S(x)。为了确定Mj(j=0,1,…n),对S(

7、x)求导得（2.55）上式两边同乘以,即得方程若记（2.56）所得方程可简写成（2.58）即（2.57）——三弯矩方程这是一个含有n+1个未知数、n-1个方程的线性方程组.要完全确定Mi(i=0,1,…,n)的值还需要补充两个条件,这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间a,b的两个端点处的边界条件来补充。由(2.53),得由(2.54),得(1)若已知，则令j=0，令j=n，(2)若已知，代入方程(2.58)，只需解n-1个方程(3)对第三类边界条件：两边同除以(j=n)(j=n)(j=0)令得又由,三

8、弯矩方程可写为说明：（1）方程组(2.59)~(2.61)系数矩阵都是严格对角占优矩阵，因此方程组(2.59)~(2.61有唯一解（2）Mj在力学上为细梁在xj处截面处的弯矩,且弯矩与相邻的两个弯矩有关,故方程组(2.59)~(2.61)称为三弯矩方程。Mj在数学上称为曲率。实际上,方程组(2.59)~(2.61)的系数矩阵是一类特殊的矩阵，在后面线性方程组