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1、导数中错的反思山东王芹导数是研究函数性质（单调性、极值、最值等）的有力工具，但如果对导数的概念掌握不牢固，对导数的性质理解不到位，就容易造成会而不对、对而不全的现象.本文结合具体例子辨析在学习导数中比较容易出错的几个问题。一、混淆“曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念例1.求曲线y=x3+3x2-5过点的切线方程.鉛解：山y=x3+3x2-5yr=3x2+6x,・•・y'i"9.故所求切线方程为y十l=9（x-l）,即9x-y-10=o.错解反思：曲线过点M的切线与曲线在点M处的切线是不同的，曲线在点M处的切
2、线是指切点在M处的切线，曲线过点M的切线还可能存在切线不在M处的另一•条切线，两者是有区别的.正确解法：山y=x'+3x2-5知），'=3x'+6x,设切点为P（x（）,y（））.则yrlx=x=3x02+6x（）.曲线在点P处的切线方程为：y-y0=（3x02+6x0）（x-x0）.又切线过点M（1,-1）,贝
3、J・1・y（）=（3x（）2+6Xo）（1-Xq）.整理得yo=3xJ+3x「6x°・l.ifij点P（x（）,yo）在曲线上，贝Uy0=x『+3x02-5.xJ+3x（）^-5=3x（）'+3Xq^-6Xq-1
4、.••-報理得xx（）"4-2=0.即（x0-l）2（x（）+2）=0./.x0=l或x（）=-2.则切点为P（l,-1）或P（・2,・l）,故所求的切线方程为9x-y-10=0或y=-l.二、因忽视解题顺序而致错例2.求函数f（x）=x2在兀=2的导数.错解：V/（2）=4,・•・广⑵=0.错解反思:/（%）在点心处的导数广（心），实际上是导函数广（兀）在x=x0处的函数值,即.ff（xo）=f3lr=x<（•故求fM在x0处的导数广（心）,应先求f（x）的导函数ff（x），再将"心代入广⑴求值，顺序不能颠倒.正确解法:
5、V/r(x)=2x,・・・广(2)=4.三、在求函数单调区间时用“U”连接致误例3.求函数y=x3（xeR）的单调区间.错解：令yz=3x2>0,得xHO：令yz=3x2<0,得x不存在.故尸X?的递增区间为（-8,（））和（0汁8）.错解反思:这与我们知道的"y=x3是R上的増函数”相矛盾.（a,b）内可导的函数f（x）在(a,b)上递增(递减)的充要条件是：对任意的xe(a,b),有广(x)$0(广(x)W0),且广(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于零(若/'(X)恒等于零，贝Uf(x)为常数函数)，即函数f(
6、x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有/z(xo)=O,其至可以有无穷多个点处有/z(xo)=O,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.利用导数求单调区间时要注意两点：(1)多个增(减)区间Z间用"、”或“和”相连接，而不用“U”;⑵若多个增(减)区间之间有公共区间端点,且函数在端点处连续，一定耍合并.止解：令令yr=3x2>0,得xHO.又f(x)在x=0处连续，则f(x)是R上的增函数.四、对题意理解不清而致错例4.求曲线y=3x-a-3的过点A(2f-2)的切线方程.错解:显然点A在曲线y=3x-x3
7、±f且fXx)=3-3x2,./(2)=-9・故所求切线方程为y+2=-9(兀一2),即9x+y-16=0.错解反思:曲线过点A的切线与曲线在点4处的切线不同，前者既包括点A处的切线,也包括过点A但切点为另一点的切线.因此，解题时必须理清头绪，弄清题意.正解：设切点为P(x°,凡)，vy=3-3x2,・•・在点P处的切线方程为y-)：o=(3-3x02)(x-x0).又切线过点4,••一2-(3xq-Xq)=(3-3xq)(2-x°),整理,得xo3-3xo2+4=O,即(勺+1)(兀o—2)2=0.・••当A-()=-
8、1吋，切线方程为_y=-2,当兀)=2吋，切线方程为9x+y-16=0.五、忽视导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件例5.求函数f(x)=V(2x-x2)2的极值.鉛解：f(X)的定义城为(-00,十8).广(X)二：(2x—用(2_2兀)=霍233V2x-x2令广(x)=0,得x=l.当x0,f(x)为增函数；当x>l时，fr(x)<0,f(x)为减函数.・・・f(x)只在x=l处取得极大值f(l)=l.错解反思:可导函数的极值点一定是它的导数为零的点，但导傲为零的点，不一定是该函傲的极值点.也就是说
9、，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，同吋还要注意定义域内导数不存在的点.止确解法:f(x)的定义域为(・8,十8),/(x)=4(1—H)3y/2x~J?令广(x)=0,得x=l,jfljx=0和x=2是广(x)不存在的点.列表考察/'(X)的符号:X(—00,0)0<0,1)1(1,2)2(2,
