2010高三数学高考专题复习系列导学案：不等式-不等式的应用.doc

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1、第7课时不等式的应用基础过关1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题．典型例题例1.若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解，求实数a的取值范围.解:令t＝2x(t＞0)，则原方程化为t2＋at＋a＋1＝0，变形得变式训练1：已知方程sin2x－4sinx＋1－a＝0有解，则实数a的取

2、值范围是（）A．[－3，6]B．[－2，6]C．[－3，2]D．[－2，2]解:B例2.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k＞0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，得b＝(0＜a＜30)①

3、于是y＝＝用心爱心专心≥当a＋2＝时取等号，y达到最小值.这时a＝6，a＝－10(舍去).将a＝6代入①式得b＝3.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大.由题设知4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，即a＋2b＋ab＝30(a＞0，b＞0).因为a＋2b≥2，所以+ab≤30，当且仅当a＝2b时，上式取等号.由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18.即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18.所以2b2＝18.解得b＝3，a＝6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．变

4、式训练2：一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于()2千米，运完这批物资至少需要（）A．10小时B．11小时C．12小时D．13小时解:C例3.已知二次函数y＝ax2＋2bx＋c，其中a＞b＞c且a＋b＋c＝0.（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：＜l＜2.证明:(1)由a＋b＋c＝0得b＝－(a＋c).Δ＝(2b)2－4ac＝4(a＋c)2－4ac＝4(a2＋ac＋c2)＝4[(a＋)2＋c2]＞0.故此函数图象与x轴交于相异的两点.(2)∵a＋b＋c＝0且a＞b

5、＞c，∴a＞0，c＜0.由a＞b得a＞－(a＋c)，∴＞－2.用心爱心专心由b＞c得－(a+c)＞c，∴＜－.∴－2＜＜－.l＝

6、x1－x2

7、＝.由二次函数的性质知l∈(，2)变式训练3：设函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c＜b＜1)，f(1)＝0，且方程f(x)＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c≤－1且b≥0；(2)若m是方程f(x)＋1＝0的一个实根，判断f(m－4)的正负，并加以证明．证明:(1)又c＜b＜1，故又方程f(x)＋1＝0有实根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有实根．故△＝4b2－4(c－1)≥0，即(c＋1)2－4(c＋1)≥0c≥3或c≤－1由由(2)f(

8、m)＝－1＜0∴c＜m＜1c－4＜m－4＜－3＜c∴f(m－4)＝(m－4－c)(m－4－1)＞0∴f(m－4)的符号为正．例4.一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(q＞p)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k．⑴把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数，并求出这个函数的定义域．⑵为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解:(1)y＝kv2，v∈(p，q](2)i)2p≤q时，船的实际前进速度为p；ii)2p＞q时，

9、船的实际前进速度为q－p．变式训练4：某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？用心爱心专心解:设购卡x张，总费用y元．y＝240(x＋)≥3840x＝8时，ymin＝38403840÷48＝80(元)答：每人最少交80元钱．归纳小结小结归纳不等式的应用主要有两类：⑴一类是不等