2011高考数学总复习 8.1 椭圆夯实基础 大纲人教版.doc

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1、8.1椭圆巩固·夯实基础一、自主梳理1.椭圆的两种定义(1)符号语言(2)文字语言形式椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(0b>0)O(0,0)A

4、1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)F1(-c,0)F2(c,0)x=0y=0x=±

5、x

6、≤a

7、y

8、≤b+=1(a>b>0)O(0,0)A1(0,-a)A2(0,a)B1(-b,0)B2(b,0)F1(0,-c)F2(0,c)x=0y=0y=±

9、y

10、≤a

11、x

12、≤b3.椭圆的参数方程椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是(θ为参数).4.焦半径公式设P(x0,y0)为椭圆上的一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，则

13、PF1

14、=a+ex0,

15、PF2

16、=a-ex0.二、点击双基51.(广东高考)若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m

17、等于()A.3B.C.D.解析：∵焦点在x轴上，∴a=,b=.∴c==.由e===,得m=.答案：B2.(经典回放)已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为()A.8B.16C.25D.32解析：利用椭圆的定义易知B正确.答案：B3.(湖北高考)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P到x轴的距离为（）A.B.3C.D.解析：由条件知a=4,b=3,得c=.又因b=3>，所以易判断∠F1PF2不可能为90°.只能是∠PF1F2或∠PF

18、2F1为直角.将xP=代入方程，则

19、yP

20、=.答案：D4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_________________.解析：椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上,则>2,即k<1.又k>0,∴0

21、心）时，求椭圆的离心率.剖析：求椭圆的离心率，即求,只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF1⊥F1A,PO∥AB易得b=c,a=b.解：设椭圆方程为+=1(a＞b＞0),F1(-c,0),c2=a2-b2,则P(-c,b),即P(-c,).∵AB∥PO,∴kAB=kOP,即-=∴b=c.又∵a==b,∴e===.讲评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.【例2】如图，设E:+=1(a＞b＞0)的焦点为F1与F2，且P∈E,∠F1PF2=2θ.求证：△PF1F2的

22、面积S=b2tanθ.剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设

23、PF1

24、=r1,

25、PF2

26、=r2,则S=r1r2sin2θ.若能消去r1r2,问题即获解决.证明：设

27、PF1

28、=r1,

29、PF2

30、=r2,5则S=r1r2sin2θ,又

31、F1F2

32、=2c,由余弦定理有(2c)2=r12+r22-2r1r2cos2θ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ=(2a)2-2r1r2(1+cos2θ),于是2r1r2(1+cos2θ)=4a2-4c2=4b2.所以r1r2=.这样即有S=·sin2θ=b2=b2tanθ.讲评：涉及椭圆中焦

33、半径或过焦点弦问题，要综合椭圆两个定义，合理代换解题，此类问题较为常见.【例3】已知椭圆+=1(a>b>0且b∈Z)的焦点为F(,0),右准线为l，A为椭圆的上顶点，且短轴长与点A到直线l的距离之比为.(1)求椭圆的方程；(2)设P(0,3)，若点M、N在椭圆上，且=λ，求实数λ的取值范围.解：(1)因为椭圆+=1(a>b>0)的焦点为F(,0)，所以a2=b2+5.又=，即=.又b∈Z，所以b=2,a=3.所以椭圆的方程为+=1.(2)设M(x1,y1)、N(x2,y2)，由=λ，得x1=λx2,y1-3=λ(y2-3).因为点M、N都在椭圆上，所以

34、消去x2,得y2=.因为-2≤y2≤2,所以-2≤≤2.5解得λ∈［,5］.讲评：求椭圆常有两