排列组合加乘、排列、组合、捆绑、插空、隔板.doc

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1、计数专题学习目标1.正确理解“标数”法计算路径数目；2.正确理解“加法原理”、“乘法原理”的意义和运用场景；2.正确理解“排列”、“组合”的意义、区别和计算公式；3.正确掌握“优选法”“捆绑法”、“插空法”、“隔板法”这些排列组合解题技巧，理解各种排列组合解题技巧的原理，所解决的问题类型及其解题方法；一.标数法例题：在左下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，共有多少条不同路线？                  分析与解：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右上图中的D点，不是经过左边的E点，就是经过下边的F点。如果到E点有a种走法（此处a＝6），到F点有b种走法（此处b＝4），

2、根据加法原理，到D点就有（a＋b）种走法（此处为6＋4=10）。我们可以从左下角A点开始，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数（见右上图），最后得到共有35条不同路线。二.加乘原理加法原理：分情况、分类计数；乘法原理：分步骤完成，各步骤单独计数，再连乘；加乘混合：加法、乘法混合使用；（1）一个步骤内有多种情况时，在计算本步骤时用加法，再总体用乘法计算出所有情况；（2）总体分几种情况，分别计算各种情况时分步骤用乘法，再将各种情况汇总用加法加法原理与乘法原理的区别：乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则，在应用时一定要注意它们的区别。乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可

3、，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务（一步完成任务），所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。7/7ABC例题：由A村去B村有2条路可走，由B村去C村有4条路可走，问从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？三.排列组合排列：有顺序要求（交换顺序，就产生新的计数）à乘法原理；A52=5×4从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（1）两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．（2）如果两个排列中，元素不完全相同，它们是

4、不同的排列；（3）如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．计算：乘法原理：从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，共有个因数相乘。组合：无顺序要求（交换顺序，不产生新的计数）à除法原理；C52=（5×4）÷（2×1）从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．（1）从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．（2）如果两个组合中，元素不完全相同，它们是不同的组合；（3）如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合．计算：除法

5、原理：从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作。一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；　　第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．（运用除法，将元素完全相同，元素顺序不同的多种排列合并成一种组合）．7/7【例1】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆

6、必须都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。（1）（种）。（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×=1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．(种)．（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，（种）.（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的

7、全排列．（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3××2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。【巩固】现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：(1)共有多少种选法?(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?(3)参加数学小组