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1、第4章弹性薄板弯曲问题的有限元法薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义,并有专门著作加以论述（如杨耀乾《平板理论》）。象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。故工程设计中以往多采用简化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。在板的分析中，常取板的中面为xoy平面(如图)。平板结构按其厚度t与短边a的比值大小而分为:厚板（Thickplate）和薄板（Thinplate)两种。当时称为薄板平板上所承受的荷载通常有两种:1.面内拉压荷载。由面内拉压刚度承担,属平面应力
2、问题。2.垂直于板的法向荷载,弯扭变形为主,具有梁的受力特征,即常说的弯曲问题。平板在垂直于板面的荷载作用下产生挠度W。当最大挠度w远小于t时,称为小挠度问题(or刚性板)(stiffnessplate)当最大挠度w与t相差不大时,称为大挠度问题(or柔性板)(flexureplate)(工程定义:为刚性板；为柔性板；为绝对柔性板。)4.1基本理论一、基本假定１、略去垂直于中面的法向应力。（），即以中面上沿Z方向的挠度W代表板的挠度)２、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。（─法向假定,）３、板弯曲时，中面不产生应力。(─中面中性层
3、假定)上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or柯克霍夫假定）。符合上述假定的平板即为刚性板。二、基本方法以上述假定为基础，板分析中常用挠度作为基本未知量,下面介绍以为基本未知量所导出的有关方程。１、几何方程（应变─挠度关系）①弹性曲面沿x,y方向的倾角从中面取出一微小矩形ABCD，如图所示，设其边长为dx,dy，变形后弯曲成曲面A'B'C'D'设A点挠度,则沿x方向倾角(绕y轴)(B’点绕度)沿y方向倾角(绕x轴)(D’点绕度)②沿x,y方向位移作平行于平面,设中面上点A到A1的距离为Z，变形后,A点有挠度W,同时发生弯曲，曲面沿x方向的倾角为,根据法线
4、假定,则A1点沿x方向的位移:(负号为方向与x相反)同理取平面得：(4-1-1)③Z平面的应变分量和曲、扭率基本假定，由于,故板内任意点的应变与平面问题相同:(4-1-2)此为Z平面的应变─挠度度几何方程。上式中的,,为曲面在X,Y方向的曲、扭率，记为：(4-1-3)所以,２、物理方程（应力─挠度关系）由于忽略σz对变形的影响,因此z平面的应力─应变关系具有与平面问题相同的形式:将(4-1-2)代入得:或简写为：(4-1-4)式中弹性矩阵:３、内力方程（内力─挠度关系）从板内取微元体,由其上正应力,和剪应力,可在截面上合成合力矩:(面上由产生的绕Y轴弯
5、矩)(面上由产生的绕X轴弯矩)扭矩:（由剪应力产生，如图）假定分别表示单位宽度上的内力矩。如是，内力矩阵：简写成(4-1-5)比较(4-1-4)和(4-1-5)可得用内力矩表示的平板应力:由此可见，平板上、下表面处的应力最大：以上是薄板弯曲问题中的基本公式,从中可见其挠度W是弯曲问题中的基本未知函数。且由于忽略了z方向的变化,因此它只是x，y的函数:w=w(x,y)。若w已知，则位移，内力、应力均可按上述相应公式求出。在经典解析法中，W(x,y)常设为三角级数形式。例如，四边简支矩形板的W(x,y)设为:(纳维尔解)式中为待定系数。假定荷载则可得位移函
6、数:4.2有限元分析方法一、矩形单元的典型形式将图示矩形薄板沿x,y方向划分成若干小矩形(常取等分)从中取出一小矩形(单元)，共有四个结点，此时不能象在平面问题中一样，将结点视为“铰”，而是“刚性的”，即每个结点有三个位移分量：挠度,绕x、y轴转角即结点i的位移同理,相应的结点力符号重新定义是为了有限元表示的方便，由此得单元结位移向量节点力二、位移模式（函数）１、位移模式的选取插值多项式取为：(4-2-1)在上式中,前10项取到了三次项的全部,最后两项则是从五个四次项中选用了两个。没选是因为它没有多一项与其配对，没选它们在边界上结出的挠度函数是四次的，
7、比和要高一次,较之更难满足边界的协调和条件。２、位移模式的检验（三个基本要求：刚体位移，常应变，尽可能的边界协调）①前三项含单元的刚体位移状态：第一项与坐标x,y无关,表示z方向的挠度是─常量,刚体移动②二次项代表均匀变形状态:曲率，，③能保证相邻单元在公共边界上挠度的连续性。④不能保证相邻单元在公共边界上法线转角的连续性。以单元１～２边界为例，在此边界上=常量，代入位移模式4-2-1，可知边界上的挠度W是x的三次函数，合并整理后可得：两个端点共有4个边界条件,(结点1,2的挠度W1,W2,和转角。利用他们可唯一确定四个常数C1～C4。因为相邻单元在结
8、点1,2的W,θy对应相同，则两个单元依据四个条件得到的C1～C4亦相同，即两单元在边界具有同
