数值分析试卷及其答案7.doc

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1、1.为了使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（5分）解、解：设有n位有效数字，由，知令,取,故2设方程的迭代法为证明对,均有,其中为方程的根.（5分）证明：迭代函数，对有，3设，分别在上求一元素，使其为的最佳平方逼近，并比较其结果。（10分）5分（4分）由结果知（1）比（2）好。（比较1分）4、用列主元素消元法求解方程组.（10）解：解：（8分）回代得。（2分）5、对线性代数方程组（10）设法导出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯－赛德尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式

2、，并说明收敛的理由。解：因其变换后为等价方程组，且严格对角占优，故雅可比和高斯－赛德尔迭代法均收敛。（5分）雅可比迭代格式为：（2分）高斯－赛德尔代格式为：（3分）6、、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。（8分）解：又5分故截断误差。3分7、用幂法求矩阵按模最大的特征值及相应的特征向量，取，精确至7位有效数字。（10）解：幂法公式为，取x0=(1,1)T，列表如下：kyTmkxT1(102，33.9)102(1,0.)2(99.,33.)99.(1,0.)3(99.,33.)99.(

3、1,0.)4(99.,33.)99.(1,0.)因为，所以8、用欧拉方法求在点处的近似值。（8分）解：等价于()（2分）记,取,.则由欧拉公式,2分可得,4分9、已知A=，求，，10分解：，（4分），得，所以。（6分）10、、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估计。（5分）解：，时，3分至少有两位有效数字。2分11、下列方程组Ax=b，　　　　考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.（8分）解：Jacobi法的迭代矩阵是即，故，Jacobi法法收敛、（4分）GS法的迭代矩阵为故，解

4、此方程组的GS法不收敛。（4分）12、写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：（无需计算）13、若，求和解：由均差与导数关系于是14、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.　解：代入公式两端并使其相等，得解此方程组得，于是有再令，得故求积公式具有3次代数精确度。15、、计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?解：由Simpson公式余项及得即，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过