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1、立体几何的向量法●基础知识总结和逻辑关系梳理一、基本概念1）空间向量的平行和垂直的条件：设，，（）；．2）两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：，，．二、基本应用位置向量：已知向量，在空间固定一个基点，再作向量，则点在空间的位置就被向量所唯一确定了．这时，我们称这个向量为位置向量．由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质．1）给定一个定点和一个向量，为空间中任一确定的点，为直线上的点，则在为过点且平行于向量的直线上①②③这三个式子都称为直线的向量参数方程．向量称为该直线的方向向量．2
2、）设直线和的方向向量分别为和，（或与重合）；．若向量和是两个不共线的向量，且都平行于平面（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线的一个方向向量为，则或在内存在两个实数，使．3）如果向量的基线与平面垂直，则向量就称为平面的法向量．设是空间任一点，为空间内任一非零向量，则满足的点表示过点且与向量垂直的平面，称为该平面的向量表示式．4）设分别是平面的法向量，则或与重合；5）线面角：斜线和它在平面内的正射影的夹角叫做斜线和平面所成的角，是斜线与这个平面内所有直线所成角中最小的角．6）二面角：平面内的一
3、条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．每个半平面叫做二面角的面．棱为，两个面分别为的二面角，记作．在二面角的棱上任取一点，在两半平面内分别作射线，，则叫做二面角的平面角．二面角的平面角的大小就称为二面角的大小．我们约定二面角的范围为．设，则角与二面角相等或互补．●解题方法总结和题型归类一、空间向量求立体几何中的角和距离归纳总结：空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）转化为向量与向量的夹角问题；距离一般转化为
4、点到平面的距离。一般有这样几个角度：1）求异面直线所成角：转化为求两条直线的方向向量的夹角。2）求线面角：转化为求线的方向向量BA与平面的法向量n的夹角，3）求二面角：转化为求两个平面的法向量的夹角。4）求距离：一般转化为求点到平面的距离，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离.【例1】如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，平面，平面，,．（1）证明：平面平面．（2）求直线与直线所成角的余弦值．【答案】（1）略（2）【解析】(1)（Ⅰ）连接,设,连接,,,在菱形中
5、，不妨设，由,可得.由平面，可知，，又，.，在中，可得,故，在中，可得.在直角梯形中，由，可得，，，，平面，平面，平面平面(Ⅱ),,,平面,面，平面平面（2）如图，以为坐标原点，分别以、的方向为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，由（1）可得，，，，，故.所以直线与所成的角的余弦值为.【例2】如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，则异面直线与所成的角的大小是________．【答案】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为2，则，，,，,，,所以，即，异面直线与所成的角大小
6、为.【点评】本题求异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是，所以要注意二者的区别与联系，应有.【例3】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点．已知，，.求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小．【答案】(1)；（2）【解析】（1）因为底面，所以,又,所以平面,从而.因为，，所以三角形的面积为（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则,，,，设与的夹角为，则,由此可知，异面直线与所成的角的大小是解法二：取中点，
7、连接、，则,从而（或其补角）是异面直线与所成的角.在中，由、、，知是等腰直角三角形，所以，因此异面直线与所成的角的大小是.【点评】本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，求两条直线的方向向量的夹角，然后求解．【例4】如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点．（1）证明：（2）求二面角的正弦值．（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】(1)见详解.（2）（3）【解析】(1)证明：因为侧棱底面，平面，所以，经计算可得，，，从而，所以在中，又，平面中
8、，，所以平面，又平面，故.（2）过作于点，连接，由(Ⅰ)可知，，故平面，得，所以为二面角的平面角，在中，由，可得，在中，，所以，即二面角的正弦值为.（3）连结,过点做于点，可得平面，连结，则为直线与平面所成的角.设，从而在中，有，，在中，，得，在中，，，由，得，整理得，解得，所以线段的长为.【点评】本小题主要考查空间线线、线面的位置关系，以及二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查考生的空间想象能力、运算能力和推理论证能力．【例5】如图，在四棱锥中，平面，
