法向量在立体几何中的应用.doc

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1、法向量在立体几何中的应用向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。1法向量的定义1.1定义1如果一个非零向量与平面垂直，则称向量为平面的法向量。1.2定义2任意一个三元一次方程：，都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中为其一个法向量。事实上，设点是平面上的一个定点，是平面的法向量，设

2、点是平面上任一点，则总有。∴，故，即，∴，……①设，则①式可化为，即为点P的轨迹方程。从而，任意一个三元一次方程：，都表示一个平面的方程，其法向量为。2法向量在立体几何中的应用2.1利用法向量可处理线面角问题设为直线与平面所成的角，为直线的方向向量与平面的法向量之间的夹角，则有（图1）或（图2）图1图2特别地时，，；时，，或例1（2003年,新课程、江苏、辽宁卷高考题）如图3，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。求与平面ABD所成角的大小。（结果用反三角函数表示）解以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线

3、为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，设，图3则，，，∴，，，，∵点E在平面ABD上的射影是的重心G，∴平面ABD，∴，解得。∴，，∵平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量。由得，∴与平面ABD所成的角为，即。评析因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足。2.2利用法向量可处理二面角问题设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有（图4）或（图5）图4图5例2（2003年，北京卷高考题）如图6，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且。求二面角的大小。（略去了该题的①，③问）解取BC的中点O，连AO。由题意平面平面，，∴平

4、面，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则，，，，∴，，，图6由题意平面ABD，∴为平面ABD的法向量。设平面的法向量为，则，∴，∴，即。∴不妨设，由，得。故所求二面角的大小为。评析　（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为。因为二面角的大小有

5、时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。例3（2002年，上海春季高考题）如图7，三棱柱，平面平面，，，且，求二面角的大小。（略去了该题的②问）图7解以O点为原点，分别以OA，OB所在直线为轴，轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为轴，建立直角坐标系（如图7所示），则，，，，∵平面AOB，∴不妨设平面AOB的法向量为，设平面在此坐标系内的方程为：，由点A，B，均在此平面内，得解得，，，∴平面的方程为：，从而平面的法向量为，∴，∴，即二面角的大小为，评析在求平面的法向量时，也可用此法先求得在空间直角坐

6、标系中该平面的方程，从而直接得到其法向量。2.3可利用法向量处理点面距离问题设为平面的法向量，A，B分别为平面内，外的点，则点B到平面的距离（如图8）。略证：图8例4（2003年，全国高考题）如图9，已知正四棱柱，点E为中点，点F为中点。求点到平面BDE的距离。（略去了该题的①问）解以D为原点，建立如图9所示的直角坐标系，则，，，，∴，，，设平面BDE的法向量为，则，，图9∴，∴，即，∴不妨设，则点到平面BDE的距离为，即为所求。例5（2003年，北京春季高考题）如图10，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，。求三棱锥的体积V。（略去了该题的①

7、②问）解以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，则，，，，∴，，，图10∴，∴，所以，设平面的方程为：，将点代入得，∴，∴平面的方程为：，其法向量为，∴点到平面的距离，∴即为所求。评析（1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式　计算得到。（2）法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。法向量作为向量家族中的一个特殊成员，在立体几何的问题解决中越来越显示出它的优越性和灵活性，也越来越广泛地被广大师生所青