复变函数—课后答案傅氏变换习题解答

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1、傅氏变换习题解答习题一1．试证：若f(t)满足傅氏积分定理的条件，则有+∞+∞f()ta=∫∫(ω)cosωωtd+b(ω)sinωtdω00其中1+∞af()ω=∫(τω)cosτdτ,π−∞1+∞bf()ω=∫(τω)sinτdτπ−∞11+∞+∞+∞+∞−jjωτωt证f()tf==∫∫()τedτωed∫∫f()τ(cosωτ−jsinωτω)costdτdω22ππ−∞−∞−∞−∞1+∞+∞+∞1+∞+∫∫ft()τω(cosτ−=jsinωτ)jsinωdτdω∫∫f()τcosωτ

2、dtτcosωdω2π−∞−∞0π−∞+∞1+∞+∞+∞+∫∫fd()τωsinττsinωtdω=+∫∫at(ωω)cosdωb(ω)sinωtdω−∞π−∞00+∞+∞因∫ft()τωsinτcosωdτdω为ω的奇函数，∫ft()τωcosτcosωdτdω为ω的偶函数。−∞−∞2．试证：若f(t)满足傅氏积分定理的条件，当f(t)为奇函数时，则有+∞f()t=∫b(ω)sin(ωt)dω0其中2+∞bf()ω=∫()τωsin(τ)dτπ0当f()t为偶函数时，则有+∞f()t=∫a(ω

3、)cos(ωt)dω0其中2+∞af()ω=∫()τωcos(τ)dτπ0证设f()t是奇函数1+∞+∞−jjωτωt1+∞+∞jωtf()tf=∫∫−∞−∞()τedτωed=−∫∫−∞−∞f()τ(cosωτjsinωτ)deτdω2π2π1+∞+∞jωt1+∞jωt=∫∫−∞0f()τsinωτdeτdω=∫−∞be()ωdω。（b(ω)是ω的奇函数）πj2j1+∞+∞=+∫∫bt()ω(cosωωjsint)dω=b()ωsinωtdω2j−∞0设f()t是偶函数1+∞+∞−jjωτωt

4、1+∞+∞jωtf()tf=∫∫−∞−∞()τedτωed=−∫∫−∞−∞f()τ(cosωτjsinωτ)deτdω2π2π1+∞+∞jωt==∫∫ae()ωdωωa()cosωtdω2−∞0a(ω)是ω的偶函数。（注也可由1题推证2题）⎧1,

5、t

6、≤13．在题2中，设ft()=⎨，试算出a(ω)，并推证⎩0,

7、t

8、>1⎧π,

9、t

10、<1⎪2⎪+∞sinωωcost⎪π∫dtω=⎨,

11、

12、1=0ω⎪4⎪0,

13、

14、1t>⎪⎩证f(t)是偶函数2+∞2sinωt12sinωa()ω=∫f()tcosωt

15、dt==π0πω0πω+∞2+∞sinωcosωtf()t=∫∫a(ω)cosωtdω=dω0π0ω⎧π

16、

17、t<1⎪2⎪+∞sinωωcostπ⎪π0+1π所以∫dfω==()t⎨=

18、t

19、=1。0ω22⎪24⎪0

20、t

21、>1⎪⎩习题二⎧At,0≤≤τ1．求矩形脉冲函数ft()=⎨的傅氏变换。⎩0,其他+∞τ−−jjωωtt解F()ω=¶⎡⎤⎣⎦f()t==∫∫f()tedtAedt−∞0τ−jωteee−−ijωτω−−11τ0==AA=A−−jjωωωj2．求下列函数的傅氏积分：⎧0,−∞

22、−122⎪⎧1,−1⎩esin2t,t≥0⎪1,0<

23、t

24、<1解（1）函数f()t=⎨满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为⎩0,

25、t

26、>11+∞+∞−iiωωtt1+∞12i−ωωtitf()tf=∫∫−∞−∞()tedtedω=−∫∫−∞−1()1tedtedω2π2π121+∞12iωt1+∞⎡⎤sinωωtt⎛⎞2cost2sinωttsin

27、ωtiωt=−()1cttosωdtedω=−⎢⎥⎜⎟−+edω]π∫∫−∞0πω∫−∞ω23ωω⎣⎦⎝⎠01+∞2s()inωω−cosωiωt4s+∞inω−ωωcos=edω=cosωtdωπω∫−∞3πω∫03⎧0,t<0（2）f()t=⎨−t满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为⎩esin2t,t≥011+∞+∞+∞+∞−−iiωωttt−iωωtitf()tf==∫∫()tedtedω∫∫esin2tedtedω22ππ−∞−∞−∞0i2tt−i21+∞+∞−−ttee−iiωωt

28、1+∞+∞−+tti2()−ωω−tt−i(2+)iωt=∫∫eedtedω=−∫∫(ee)dtedω22π−∞0i4iπ−∞0+∞⎡⎤⎡⎤⎣⎦−+1i()2−ωωtt⎡⎤⎣⎦−1−i()2+1+∞eeiωt=−∫⎢⎥edω4iπω−∞⎢⎥⎣⎦−+1i()2−−1−i()2+ω011+∞⎡⎤−−1iωt=−∫⎢⎥edω4iπω−∞⎣⎦−+1i()2−−1−i()2+ω21+∞()52−−ωωi=+()cosωttisinωωdπω∫−∞25−+624ω221i+∞()5−+ωωcostt2ωsi