一种求解非线性变分包含问题的混合迫近点算法

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1、第25卷第5期平顶山学院学报V0】．25No．52010年l0月JournalofPingdingshanUniversity0et．2010一种求解非线性变分包含问题的混合迫近点算法唐萌，沈洁(辽宁师范大学，辽宁大连116029)摘要：针对一类非线性变分包含问题引入了(A，77)极大单调的概念，并利用这一概念构造了一种混合迫近点算法，该算法能逐步逼近所研究变分包含问题的解．关键词：非线性变分包含问题；混合迫近点算法；(A，r／)一极大单调；一极大单调中图分类号：O177．91文献标识码：A文章编号：1673—1670(2010)05—0

2、001一o41引言Liu等人在文献[1]中运用广义预解算子技巧研究了一种新的非线性变分包含问题，Verma在文献[2]中研究了一类非线性包含问题，问题的研究基于与A一极大算子有关的广义预解算子．与此同时，Verma在文献[3]中研究的非线性包含问题基于与，4一单调算子有关的广义预解算子，随后，非线性包含问题解的存在性问题被进一步提出，这一问题的可解性是基于A一单调的．最近，Verma在文献[4]中给出了一种研究变分包含问题的迫近点算法．这一变分问题是：找到解，使得满足0∈M()，其中：是上的集值映射．在这篇文献中给出了一种混合迫近点算法，

3、所讨论的问题是Verma在文献[3]中研究的．笔者在应用广义预解算子技巧求解变分包含问题的解的过程中，进一步将A一单调的概念推广到(A，卵)一单调，并构造了一种混合迫近点算法，在文章最后进行了相关的收敛性分析．2预备知识令是被赋予了范数ll·II和内积(·，·)的实的Hilbert空间，2表示的所有非空子集族．首先，让我们回忆一些相关概念．定义1l4令A：是(r)一强单调的某个映射，M：一2被称为A一极大单调的，如果M是m一松弛单调的，则(A+pM)(X)=，Vp>0．定义2f4]令A：是(r，卵)强单调的某个映射，：被称为(，，7)一极

4、大单调的，如果是(m，)一松弛单调的，则A+pM(X=x，p>0．引理1令：是(r)一强单调的某个映射，并且：是一极大单调的，则与有关的广义预解算子被定义为(u)=(+)(“)，M∈，它是单值的并且是()一Lipschitz连续的·．r-pro引理2[6令A：是(r，)一强单调的某个映射，并且：是(A，叼)一极大单调的，令：×是(丁)一Lipschitz连续的．则与Ⅳ有关的广义预解算子被定义为p,．r／(u)=(A+pM)(u)，收稿日期：2010—03—30基金项目：国家自然科学基金(10771026)；辽宁省教育厅高校研究项目(2oo

5、8376)作者简介：唐萌(1987一)，女，吉林省通化市人，辽宁师范大学数学学院硕士研究生·2·平顶山学院学报2010焦M∈，它是单值的并且是()一Lipschitz连续的r—pm3非线性变分包含问题令：是非线性算子，S，T：—是任意算子．对任给的∈X，找到a∈X，使得∈S(a)一(a)+(口)，(1)被称为一类非线性变分包含问题，(简称NVI问题)．引理3令是实的Hilbert空间，：—是(r，叼)一强单调的某个映射，并且：2是(A，叼)极大单调的，5，：是任意算子，则下列问题等价：(i)a∈X是NVI问题的解．(ii)存在a∈X使得a

6、=p,．r／((a)-p(S(a)一T(a))+)，其中P>0为任意常数．(iii)算子Q()=(1一t)“+(4(a)-p(S(a)一T(a))+px)有不动点a∈X，其中t>0为任意常数．证明(i)一(ii)由于a∈X是问题NVI的解，则有A(a)-p(S(a)一T(a))+p∈(A+pM)(a)．也就是(A(a)-p(S(a)一T(。))+px)=(A+P)(a)=a．(ii)—(i)令a=(A(0)-p(S(a)一T(a))+px)，贝0A(a)-p(S(a)一T(a))+J9∈(A+pM)(a)，所以∈S(0)一T(a)+(a)

7、．(ii)一(iii)令a=,．r肘l(A(a)一P(S(a)一T(a))+p)，贝0Q(a)=(1一t)a+(A(a)一P(S(a)一T(a))+p)=(1一t)a+ta=a．(iii)成立．(iii)一(ii)由于a∈X是Q的不动点，所以有Q(a)=a．即a=(1一t)M+(A(a)一P(S(0)一T(a))+px)，a=,．r／(A(a)-p(S(a)一T(a))+)．若是一极大单调的，则引理3退化为文献[3]中的引理2．4混合迫近点算法引理4令是实的Hilbert空间，A：是(r)一强单调的并且是(O／)一Lipschitz连续的

8、，：一2是A一极大单调的某个映射，5：一是()一Lipschitz连续的，：—是(S)一Lipschitz连续的，并且叼：×—是()一Lipschitz连续的，则有，l1(A(“)-p(S(u