凸函数在不等式证明中的应用

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1、第20卷5期四川文理学院学报2010年O9月V01．2ONo．5SichuanUniversityofArtsandScienceJournalSep．2010凸函数在不等式证明中的应用宋小军(西华师范大学数学与信息学院，四川南充637002)摘要：通过凸函数的定义、性质的描述，主要研究其在不等式证明中的应用，举例说明解题思路与证明方法，并且证明了几个常见的重要不等式．关键词：凸~；Jessen不等式；广义AG不等式；Young不等式；Hfilder不等式；Mink0llski不等式中图分类号：0174．13文献标志码：A文章编号：1674—5248(

2、2010)05—0008—04函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握函下方，则此函数称为凸函数．数在区间上的整体性态，不仅可以更加科学、准确地描绘函数的图象，而且有助于对函数的定性分析．凸函数是一2凸函数的性质类重要的函数，在不等式的研究中尤为重要，而研究不等引理2．1)为D上凸函数的充要条件是：对于D式最终归结为研究函数的特性．上任意三点l<<3，本文在学习了凸函数的一些基本性质的基础上，主要总有二2二2

3、上讨论了关于凸函数的几个重要的不等式，并用其解决初等．一13—0数学中的不等式及积分中的一些不等式的证明．证：[必要性]记A=，则=从。+(

4、1一A)，由，的1凸函数的定义凸性知道：定义1设函数)定义在区间D上，若Yx，E)=Ax。+(1一A)3)≤A厂()+(1一A)3)D。VA∈(0，1)对，有=X1)+．A戈。+(1一A))≤A厂(。)+(1一A^()，称，()为区问D上的凸函数．当不等式改为严格不等式从而有时，则函数称为严格凸函数．(3一2)．厂(2)≤(3一2)-厂(茁1)+(2一1)．厂(3)，它的几何意义是)当定义在区间D上时，函数曲(3一2)‘厂(X2)+(2一1)f(2)≤(3一2)／．(I)+线上任意两点之间的弦，总位于连接此两点的曲线的上(2一I)3)．方．整理后即得．

5、[充分性]在D上任取两点。，，(。<，)，在[。，]特别地，当上式A=÷时，我们可以得到上任取一点2=Ax。+(1一A)3，^∈(0，1)，即A=L华)．，由必要性的推导逆过程，可证得3一X1它的几何意义是：当)定义在区间D上时，函数曲，(A。+(1一A)，)≤A，。)+(1一A)，)．线Y=)上任意两点间的弦的中点总位于具有相同横坐故，为D上的凸函数．标的曲线相应点的上方．其几何意义是为凸函数的充要条件为在曲线Y=，从几何直观上讲，凸函数也可以用如下直观描述性定()上自左至右依次任取三点P、Q、R，上式表明PQ连线义：[‘】的斜率不大于Q尺的连线的斜

6、率．(1)如果某函数图象上任意两点间的弧段总在这两定理2．2：设为区间D上可导函数，则下述论断相点连线的下方，则此函数称为凸函数．互等价：(2)如果某函数的图象上任意一点的切线都在图象(I为D上凸函数；收稿日期：2010—05—21作者简介：宋小军(1962一)，男，四川新津人。副教授，主要从事高等数学研究。8宋小军：凸函数在不等式证明中的应用2010年第5期(2为D上递增函数；就有∑A)=(3)对D上任意两点。，，有，()。)+厂(。)(2一1)．(1一A)·(1-A)·All+A2X2+⋯+AI—I一l)证：(1。。)任取其上两点。，(。<：)及充

7、分小的正数．由于。一h<：<+h根据，的凸性及引理：_A^芒)+)—————)—一—_=———。—一——h一)一：)一。)—————+—h—)—一—————一)=(1一A一(Il+22+⋯+‘一lI—1)+A'(^)2一l凡≤(1一A)【L，I)+⋯+I—L，^一1)】+A√一(I)是可导函数，令0+时可得(。)≤兰=Al己I)+⋯+AI．L，一(I。1)+AI)2一石l=A)．≤厂(：)．所以为

8、D上的递增函数．即对于n=k也成立．(2。一3。)在以，(<)为端点的区间上，应用综合i)，ii)可知该命题成立．拉格朗日中值定理和递增条件，有(2)(积分

9、形式)若，是[ot,f1]上的凸函数，P，q在[，：)一／。)=厂()(：一。)≥，T()(：一。)．卢]上可积，≤p()≤卢，q(x)>10，E[口，b]且』：q(x)dx>移项后即得式成立，且当>：小时仍可得到相同的0，则·结论．、(3。一1。)设以。，为D上任意两点，％=Ax。+(1一)≤A)2，0

10、(，)(一令n—得原命题成立．．．1)，、Jessen不等式是凸函数的一个重要性质，利用它可以