凸函数在不等式证明中的应用 .doc

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1、凸函数在不等式证明中的应用摘要：凸函数是一种性质特殊的函数.它在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用.本文首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了三种定义之间的等价性．接着给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式．然后讨论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用．在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法，最后证

2、明了几个常见的重要不等式．并得到了几种常用凸函数的形式．关键词　凸函数，不等式，凸性不等式1引言在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到广泛应用．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的

3、弧段总在这两点连线下方的函数．现行高等数学教材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用．凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要．凸函数的性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究．本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用，针对它在证明比较复杂

4、的不等式方面有着重要作用，本文对凸函数的性质在比较经典的不等式证明中的简单应用进行初步讨论.2凸函数的等价定义定义1[1]　若函数对于区间内的任意以及，恒有，则称为区间上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间的割线总在曲线之上．定义2　若函数在区间内连续，对于区间内的任意，恒有，则称为区间上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上．定义3　若函数在区间内可微，且对于区间内的任意及，恒有，则称为区间上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线上任一点处的切线，总在曲线之下．以上三种定义中，定义3要求在

5、内是可导的，定义2要求在上是连续的．而定义1对函数则没有明显地要求．实际上可以证明在定义1中，函数在上是连续的．而定义1和定义2两个定义是否要求函数是可导的，则没有提出．如果加上可导的条件，则可证明三种定义是等价的．2.1凸函数三种定义的等价性的讨论2.1.1定义1定义2证明定义1定义3，取，由定义1推得定义2．定义2定义1首先，论证对于任意的及有理数，不等式，成立．事实上，对于此有理数总可以表示为有穷二进位小数，即，其中或1，．由于也是有理数．所以也可以表示为有穷二进位小数，即，由于，有或1，，于是．所以．下面再论证对为无理数时定义1也成立．事实上，

6、对任意无理数，存在有理数列，所以，由于在内连续，所以．综上即知，定义1与定义2等价．2.1.2定义1定义3证明定义1定义3：对内任意的及，若，则取，使．于是，可以得到，上式中令，由于可微，所以有，即．若，则取，使，同理可证．定义3定义1：对于区间内的任意（不妨设）以及，令，则有，由泰勒公式，得　　　　及，其中，于是再进一步由，所以即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，最后，由等价的传递性即知定义2与定义3也是等价的．2.2判定定理与Jesen不等式判定定理[2]　设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件是，．用定义直接来判断一

7、个函数是不是凸函数，往往是很困难的．但用该判定定理来判断一个光滑函数是否凸，则是相当简便的．在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式．在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙．证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数．定理(Jensen不等式)[3]　设函数在上处处二次可微，且(对任意，则为上的凸函数，即对任意，及成立如下不等式，　　（1）该不等式称为Jensen不等式，该性质是凸函数的一个重要性质，也是定义的一般情况．可以说

8、，凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen不等式来体现的，因为每个凸函数都有一个J