不留有用，只留必需.doc

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1、说起数学史上严谨的典范，自然少不了欧几里得和他的《几何原本》，历经2000多年而不衰，前无古人后无来者。有时候觉得，欧几里得的这种严谨简直到了令人发疯的程度，全本书只用简单的几条公理和公设，便推导出洋洋洒洒的这么大一部奇书。想要体验其严谨的程度，只需要细看欧几里得给出的几条公理即可。一：严谨的典范不能用的公理绝对不用，哪怕这条公理是多么的显而易见以至于“驴都想得到”，只要没有必要或是能用现成的公理代替，欧几里得就坚决不要。比如我们都知道，对于圆规，除了具有画圆的功能，还具有“搬运有限线段”的功能——即用圆规在其他地方画出与已知线段相同

2、的长度的线段。我想大家都知道这事情是很容易办到的，这个功能也是如此的显而易见。但是在欧几里得的几何里却是不允许的，除非你能证明圆规的这一功能。原因很简单，因为欧几里得用不着圆规的这一功能，如果涉及要用这条性质的，欧几里得完全可以用另外的方式来代替。总之，他不允许在自己的逻辑体系里有丝毫的累赘。又比如在证明“AAS”三角形全等判定定理时，竟然没用上“三角形的内角之和为180°”这个结论，当各位在证明“AAS”时，是否会本能地将其化成“ASA”？原因其实也很简单，因为在介绍有关三角形全等的章节中，还没有推导出“内角之和为180°”这一结论

3、，而欧几里得不希望将全等判定留到后面。二：对毕达哥拉斯定理的证明欧几里得将毕氏定理的证明放在第一篇最后，仅仅用了46个命题便证明出该定理，不能不说是神来之笔。在众多证明方法中，要数欧几里得的证明最为简单。要知道，此时的欧几里得还未曾提及任何有关圆、相似性的命题，四边形也仅仅提到平行四边形。我想欧几里得不是不知道用相似原理来证明勾股定理，因为他对相似原理的描述已经非常全面，他煞费苦心地构造这么一种方法来证明毕氏定理，原因大概只有一个——他不希望把这么漂亮的定理留到后面。也就是在这些命题中，有着很明显的层层递推关系。三：《几何原本》的些许

4、遗憾这里所说的遗憾，不是其内容很多有些过时，毕竟我们已经过了两千多年，而是其逻辑结构并非十全十美。最著名的大概就是第五公设，该公设自提出便充满争议，直到19世纪初，才由三位科学家（高斯，约翰·鲍耶，黎曼）彻底解决第五公设问题，并从中发展出非欧几何，大大拓展了人们的视野。除了第五共设，少有人知道的是，《几何原本》的第一个命题便是有问题的：【1·1】在一条已知的有限线段上做等边三角形。欧几里得的方法是：以A为圆心，AB线段为半径做圆，再以B为圆心，AB为半径做圆，连接两圆交点和AB两点，便得到等边三角形。该问题自然是正确无疑的，但是却是有

5、逻辑漏洞的，因为我们无法知道两圆为何一定相交。要知道这可是该书的第一条命题，他所能基于的就只有几大公设和公理，而没有任何一条公设能证明这一点。我们只能凭感觉说两圆一定相交，而这显然违背了欧几里得的逻辑结构。而后许多数学家都意识到了这一问题，往后的许多公理系统都是经过修改后的“希尔伯特公理系统”。