近代声学导论-1.ppt

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1、第一章、连续介质线性动力学的Lagrangian方法我们将讨论四个例子：一、各向异性介质中的声波二、多孔介质中的声波三、磁流体中的声波四、压电晶体中声波的能速度和群速度1动力学系统：系统中的一些状态参量随着时间变化。状态参量？描述一个系统状态的参量2连续体系的动力学系统力学系统，如：声波,声压电磁系统，如：电磁波，电场强度力学和电磁耦合的系统，如：压电晶体中的声波。离散体系的动力学系统钟摆摆锤的位置随时间变化，状态参量是摆锤相对于平衡位置的位移。3线性？线性是直线性因果关系成比例受迫弹簧简谐振子的驱动力与振幅就是因果关系4Lagrangia

2、n方法是研究复杂动力学系统的有力工具，基本原理是Hamilton原理。从Hamilton原理可以直接导出力学和电磁系统的波动方程，而不需要明显的应用Newton定律或Maxwell方程。5§1－1、动力学系统的LagrangianLagrangian是系统的各类能量的一种组合。刚体系统，例：Lagrangian是系统的动能和势能之差连续系统，用Lagrangian密度，即单位体积中的Lagrangian。例：电磁波的Lagrangian密度是电能密度与磁能密度之差。6数学名称：基本场函数，如，质点位移，电场、磁场势。一般研究动力学问题时，基

3、本场函数是待求的物理量。动力学系统的状态参量：Lagrangian是系统的基本场函数的泛函，一般不直接依赖于时间、空间。物理量的场：一个物理量在一个空间中每一个点，在每一时刻都有值7泛涵是函数的函数。L是函数ui(x)的泛函表示为L=L[ui]8任何均匀的系统可以被单一的泛涵Lagrangian确定。用位移x作为弹簧振子的基本场函数，系统的Lagrangian为9§1－2、Hamilton原理Hamilton原理是自然界中非耗散动力学系统的一个基本原理。§1－2-1、数学基础：（一）、变分方法变分方法是处理极值问题的一种方法。微积分学中极值

4、问题是研究函数极值的存在性以及极值点的性质等。变分方法的思路和微分方法类似,但是研究的是泛涵的极值函数问题。10变分问题的经典例子:质点从P0滑到P1,(a,b),求沿怎样的曲线滑行时间最短?P0P1ux只有重力作用,加速度为g,曲线方程为u=u(x)在P0处质点速度为零,可以确定在任意位置P1处质点速度v=(2gu)1/2根据能量守恒有所以11曲线上微小弧长为ds=(1+u’(x)2)1/2dxdudxds下滑的全部时间为t=（2gu)-1/2ds=t[u],u(0)=0,u(a)=b>0求使时间t最短的u12泛涵有极值的条件我们关心积

5、分形式的泛函已知泛函,u’是u对x的导数，积分也是u的泛涵，其中a和b是两个常数，并且和是已知的；求u使得积分有极值。13假定u是满足积分极值的函数，对于任意一个函数其中ū是函数u的变分，是一个实数小量，ū是一个任意函数在边界上，,积分可以写成变成的函数。14根据函数极值的理论，有极值的条件为或者泛涵的变分为零在15利用积的导数的公式,第二项可以写成写出泛涵的导数有16根据边界条件得到因为ū是任意的，所以上式是系统的场方程,也称为拉格朗日方程。这是泛涵I有极值的必要条件；可以从以上方程确定问题的解。17哑标－变量的下标是字母，如xi表

6、示位置矢量的三个分量,哑标i=1,2,3（二）符号表示法：例：对应于笛卡尔直角坐标x1~x,x2~y,x3~z例：用i,i=1,2,3表示速度的三个分量。18下标中的逗号表示求空间偏导符号的上点表示求时间偏导19求和规定：一项中有两个相同的哑标表示求和例：例：高斯定理矢量表示张量分量表示ni是面积元的单位法线矢量。20克罗内克符号例：21例：j和k分别求和置换张量22§1－2-2、物理原理：能量原理－Hamilton原理已知Lagrangian密度为L=L[ui]其中ui是系统的基本物理量，如质点位移，作用量定义为I=RLdRR代表时空

7、域，。作用量也是ui的泛涵。23Hamilton原理：如果在积分边界上函数的变分为零，则作用量I的变分为零。可表示为I=RLdR=0，在R的边界上ui=0。从变分理论知:Lagrangian在这个时空域上的积分有一个极值。24§1－2-3、场方程展开变分式其中对于连续函数,可以交换求变分和求积分的顺序。利用积的导数的公式第二项可写成对第三项可以有类似的公式。作用量是ui和它的一阶导数的函数。25变分式写成第二项中可以分别对时间或空间求积分，由于在边界上ui=0，该项必为零。第一项中ui是任意的,不总为零,因此得到系统的场方程注意

8、上式代表了三个方程，26§1－2-4、牛顿定律和Hamilton原理质点力学中的牛顿第二定律对于n个质量为m的粒子的体系，虚位移对应的虚功为F是力，m是质量，a是加速度。27在时