3、=b将区间［a,b］划分成n个小区间，每个小区间为订，且小区间的长度在每个小区间上任取一点且(弘赵争),1=(1,2,…,n),作和式ni=l如果当x->0时，上述和式的极限存在，则称函数f(x)在区间［a,b］,上可积,并称此极限值为函数f(x)在区间［a,b］上的定积分，记作Qf(x)dx其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,X称为积分变量，记号“L称为积分号，区间［a,b］,称为积分区间,a与b分别称为积分下限和积分上限，和式琨曲隔称为f(x)的积分和.1.3性质1・(线性性)若f(x)是定义在［a,b］±的黎曼可积函数,K为常数,则Kf(
4、x)在［a,b］上也黎曼可积，且有2•若f(x),g(x)在［a,b］黎曼可积,贝！If(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x)也在［a,b］黎曼可积.注：①②综合以上两条3・(区域可加性)设有界函数f(x)在［a,c］,［c,b］上都黎曼可积，则f(x)在［a,b］上也黎曼可积，且有4.(单调性)f(x),g(x)是定义在［a,b］上黎曼可积,且f(x)Wg(x),贝！J5.(可积必绝对可积)若f(x)在［a,b］±黎曼可积,则
5、f(x)
6、在［a,b］上也黎曼可积，且有注：其逆命题不成立6•若f(x)在［a,b］±黎曼可积，则在［a,b］的任意内
7、闭子区间［a,B］U［a,b］上也黎曼可积•且其积分值不会超过在［a,b］上的积分值.7•若f(x)是［a,b］上非负且连续的函数.若有则f(x)在［a,b］上恒等于零.8・f(x),g(x)在［a,b］黎曼可积,M=max{f(x),g(x)},m=min{f(x),g(x)}在［a,b］黎曼可积.9•若f(x)在［a,b］上黎曼可积，在［a,b］上有定义且有界，则也在［a,b］±黎曼可积.引子X2+1二0实数到复数，狄里克莱，P58,80,1002勒贝格积分实变函数论中核心的内容之一是建立在测度理论上的勒贝格积分理论，而测度理论的核心是建立一般集合外测度•因
8、而集合外测度概念是实变函数中的一个基木概念.目前实变函数论的各种教材中定义的集合外测度概念都是用开区间的长度(面积，体积)来定义的，因此我们首先给出勒贝格测度的定义.2.1外测度定设E为中任一点集，对于每一列覆盖E的开区间做出它的体积总和□二(口可以等于+8,不同的区间列一般有不同的U),所有这一切的口组成一个下方有界的数集，他的下确界(完全I±E确定)称为E的勒贝格外侧度，简称L外侧度或外侧度，记为m*E,即m*E二2.2.2可测集定义设E是中的点集，如果对任意一点集T都有：m*T二m*(TE)+m*()则称集E是L可测集.2.2.3可测函数定设f(X)是定义
9、在可测集E实函数，如果对于任意实数a,E[f(x)>a]都是可测集，则称f(x)在E上是可测函数.注：E[f(x)>a]={x
10、xf(x)>a].2.2.4Lebesgue积分(1)勒贝格积分定定义1设f(x)是定义在E上的可测函数，a〈f(x)〈0,对[ci,卩]的一个分划D：a二<<<・・・<<¥，记二E{x:Wf(x)W}(i二0,1,2,…，n),则{；i=l,2,•••,n}是两两不相交的可测集，且有E二，mE=.那么：1)称S(D)二，s(D)二分别为函数f(x)在分划D下的大和与小和；2)称,I二分别为函数f(x)在E上的勒贝格积分与下积分.3)若
11、有界可测函数f(x)在E
