带有强迫项的高阶差分方程解的振动性-论文.pdf

《带有强迫项的高阶差分方程解的振动性-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第46卷第3期郑州大学学报(理学版)Vo1．46No．32014年9月J．ZhengzhouUniv．(Nat．Sci．Ed．)Sep．2014带有强迫项的高阶差分方程解的振动性赵良鹏，闫卫平(山西大学数学科学学院山西太原030006)摘要：利用分析法研究一类具有强迫项的高阶差分方程A(n(t)x(t)一6(t)x(t一．r))+p(￡)(￡一)ql(t)(t一)一q2(t)x(t一)=，(t)的振动性，得到了这类方程解振动的充分条件．关键词：差分方程；强迫项；高阶；振动性中图分类号：0175．7文献标志码

2、：A文章编号：1671—6841(2014)03—0005—04OOI：10．3969／j．issn／1671—6841．2014．03．0020引言差分方程定性理论的研究在近些年来逐步受到人们的重视，国内外学者对高阶差分方程解的振动性进行了大量的研究，取得了一些研究成果_l。]．在这样的情况下，有关时滞或带强迫项的高阶差分方程也逐渐受到人们的关注，成为一个新的研究领域．文献[1]研究了具有连续变量的高阶非线性变时滞差分方程m△d((t)一b(t)x(t—r))一(一1)∑(n)fi(x(t一(t)))=o

3、的振动性．文献[2]研究了一类具有连续变量的高阶差分方程△((n)一p()(n—r))+g()(t一下)=0解的振动性问题．本文在以上文献的基础上，主要研究一类具有强迫项的高阶差分方程△(0(t)(t)一b(t)x(一丁))+P(t)x(t—or)+q1(t)(t—or)一g2(t)(t一)=t)(1)解的振动性问题．这里定义d≥1，d∈N，hx(t)=(t+丁)一(t)，其中下>0，≥0是给定的整数，r是步长，A(t)=A(A一(t))，{口(t)}，{b()}，{t)}，{g(t)}(i=1，2)是非负

4、的实数数列且{b(t)}为递增数列，A，是正的奇数之比，且>l，00．方程(1)的一个非平凡解{(t)}称为最终正的是指当t(t>t。)充分大时，有(t)>0，该解称为非振动的，否则是振动的．若方程(1)的每一个非平凡解{(￡)}都是振动的，称该方程为振动的．1基本引理引理1若和y非负，则(a)一_1+(一1)≥0，>1；(b)X一Ay_。一(1一A

5、)y≤0，00或有{Az(t+n)}<0)，则{△z(t+)}最终严格单调且定号(i=0，1，2，⋯，收稿日期：2014—03—14作者简介：赵良鹏(1987一)，男，硕士研究生，主要从事差分方程理论及其应用研究，E—mail：zhaoliangpeng20@126．corn．6郑州大学学报(理学版)第46卷d一1)．引理3假设d≥1是奇数，{z(t

6、+n)}是负的实数列，如果{△z(t+nr)}最终为负，则(t+)<0．引理4[6设z(n)>0，n≥0，Az()定号且不为0，则存在整数J，0≤≤P，对于Az(n)≤0，(P+)为奇数；对于(n)≥0，(P+)为偶数．使对≥口有：(a)若．『≤P一1，则(一1)州A‘z()>0，≤i≤P一1；(b)若_『≥1，则A‘(n)>0，1≤i≤-『一1．2主要结果及证明令z(t)=。(t)x(t)一6(t)x(t一)，则方程(1)转化为△z(t)+p(t)x(t一)+g1()(t～)一q2(t)x(t一)=，(t

7、)．(2)首先讨论2个相对简单的差分方程△()一P(t)(t一)+ql(f)(t一)=f)，(3)△(t)+P(t)(t一)一q2(t)(t一)=t)(4)的解的振动性．定理1如果方程(2)一(4)满足下列条件：(H，)具有非振动解(t)，(t)Az(t)<0；(H2)0≤6(t)≤口(t—)，则(t)z(￡)>0．证明对d分情况讨论：(a)当d为奇数且d≥1时，方程(2)一(4)具有非振动解{(t)}，设{(t)}为最终正解．令Y(t)=0(t)(t)，贝0(t)=Y(t)一b(t)(t一丁)=y(t)一

8、6(t)y(t—r)／(口(t一丁))．由条件(H)知z(t)<0．根据引理2可得{△‘z(t)}(i=1，2，⋯，d一1)单调且定号．特别有(t)>0或z(t)<0．若z(t)<0，由引理3可知(t)<0，故z(t+丁)