带弱耗散的两维非自治不可压Navier-Stokes方程的一致吸引子-论文.pdf

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1、．程数学物理学报带弱耗散的两维非自治不可压Navier—Stokes方程的一致吸引子杨新光王红军李钧涛(河南师范大学数学与信息科学学院河南新乡453007)摘要：研究了描述流体力学规律的一类带有弱耗散两维非自治不可压Navier—Stokes方程解的长时间行为．在给出自治外力项和初值的合理假设条件下，运用弱连续方法，可以得到系统一致吸引子的存在性．关键词：带耗散的Navier—Stokes方程；过程族；一致吸引子．MR(2000)主题分类：35L60；35L65中图分类号：O175．29文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)04—828—131引言本文主要研究描述流体力学规

2、律的一类带有弱耗散的两维非自治不可压Navier—Stokes方程解的长时间行为“t—uAu+(“·)“+OLU+Vp=f(t，z)，(X，t)∈×R(1．1)V．“=0z∈，(，t)∈×R(1．2)u(t，)fa(2=0，t∈，(1．3)U(T，)=u(z)，T∈R．∈Q，(1．4)其中是月中带有光滑边界al2的有界区域，代表流体的粘性常数，f(t，z)是非自治外力项，“一札(，)=(1(t，)，“2(￡，))表示流体速度，P为压力，>0是正常数，⋯表示弱耗散项，R=【7-，+。。)，下∈R．当=0时，系统(1．1)(1．4)退化为一般的两维不可压Navier—Stokes方程￡一L,A

3、u+(“·)札+Vp=f(t，)，∈Q，t∈R，(1．5)·u=0，z∈Q，t∈R．(1．6)收稿日期：2013—09—06；修订日期：2014—05—16E—mail：yangxinguang@hotmail．conEhsdwhj@163．coin；juntaolimail@126．coin基金项目：国家自然科学基金(11326154，61203293)、河南师范大学人才基金(qd12104，2012GGJS一063)、河南省科技厅自然科学基金(122300410414，132300410432)和河南省科技攻关项目(122102210131)资助No．4杨新光等：带弱耗散的两维非自治不

4、可压Navier—Stokes方程的一致吸引子829自上世纪至今，两维和三维Navier—Stokes方程解的整体适定性和长时问行为成为国际数学界的重要研究课题之一．其中，关于不可压Navier—Stokes方程的无穷维动力系统的经典研究结果，如自治系统整体吸引子的存在性及其Hansdorf维度，带有低正则性外力的非自治系统一致吸引子和拉回吸引子的存在性，我们可以参考文献『1-5，813，1722，2426，2832]．对三维不可压Navier—Stokes方程的无穷维动力系统，利用多值半流框架，在弱解缺少整体正则性条件下，Sell[27]得到了三维不可压Navier—Stokes方程在有

5、界光滑区域上整体吸引子的存在性．在自然相空间的弱拓扑下，Cheskidov和Foias[7]研究了带有周期边界的三维不可压Navier—Stokes方程弱吸引子的存在性．由于三维不可压Navier—Stokes方程弱解的唯一性未知，Chepyzhov和Vishik[6_给出了在缺乏唯一性下的一种新框架，即轨道吸引子的存在性，并且给出了三维非自治不可压Navier—Stokes方程轨道吸引子的存在性．利用在空间日上的弱收敛拓扑，Kapustyan和Valero_l5_证明了自治和非自治三维不可压Navier-Stokes系统弱吸引子的存在性，并且给出了强吸引子存在的一个必要条件．利用多值过程

6、的框架，Kapustyan，Kasyanov和、，alero_l4．得到了来源于最优控制问题中的三维广义不可压Navier—Stokes方程拉回吸引子的存在性．由于三维不可压Navier—Stokes方程强解的存在性和弱解的唯一性没有得到完全解决，所以关于整体解的无穷维动力系统仍然是公开的，这些课题得到数学家们的广泛关注．出于这种考虑，利用带耗散的Navier—Stokes方程来逼近标准方程进而解决标准方程的适定性成为一个重要的研究课题．其中对于自治情况，Kalantarov和Titi[J考察了三维不可压Navier—Stokes方程的正则逼近方程Navier—Stokes．Voight方

7、程，并且给出该方程初边值问题全局吸引子的存在性及其维数．近来，秦玉明，杨新光和刘欣利用一致条件一(C)方法和弱连续方法给出在空间和H中一致吸引子的存在性．然而，对于耗散Navier—Stokes方程，非自治系统的结果仍然不多．我们的研究目标是(1)当趋于0时，两维耗散Navier—Stokes方程关于标准Navier—Stokes方程吸引子的收敛性和上半连续性；(2)三维带耗散项Navier—Stokes方程整体解的存在