隐函数存在定理的新证明.pdf

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1、第23卷第5期大学数学Vol.23,№.52007年10月COLLEGEMATHEMATICSOct.2007隐函数存在定理的新证明周宗福,蒋威(安徽大学数学与计算科学学院,合肥230039)[摘要]给出数学分析中一元隐函数存在定理的一个新的证明,与以前的证明相比,本文给出的证明更易于理解和掌握.[关键词]隐函数存在定理;多元函数微分中值定理;证明[中图分类号]O172[文献标识码]C[文章编号]167221454(2007)0520137202一元隐函数存在定理是数学分析中的一个基本定理,它有许多重要的应用.学生在学习这一定理时往

2、往觉得其证明不容易弄懂,这也就影响到他们对这个定理的理解与应用.本文借助多元函数的微分中值定理给出了此定理的一个新的更易于理解的证明.引理1设(x0,y0)为平面上的一点,二元函数F(x,y)满足(i)在闭矩形D={(x,y)∶

3、x-x0

4、≤α,

5、y-y0

6、≤β}上,Fx(x,y),Fy(x,y)连续;(ii)F(x0,y0)=0,Fy(x,y)在D上恒正(或恒负),则存在α1>0(α1≤α),使得Px∈U(x0,α1),存在唯一的y∈U(y0,β),满足F(x,y)=0.证不妨设Fy(x,y)在D上恒正.(i)若Fx(x,y)在D

7、上恒为0,则在D上F(x,y)仅与y有关,故可记F(x,y)=φ(y),从而由(2)知φ(y0)=F(x,y0)=F(x0,y0)=0,φ′(y)=Fy(x,y)>0(y0-β≤y≤y0+β),故φ(y)在y0-β≤y≤y0+β上严格单调增加.取α1=α,则Px∈U(x0,α1),存在唯一的y=y0∈U(y0,β),满足F(x,y)=φ(y)=0.结论成立.(ii)若Fx(x,y)在D上不恒为0,令A=max

8、Fx(x,y)

9、,B=minFy(x,y),则A>0,B>0.(x,y)∈D(x,y)∈DBβ取α1=min,α,则α1>0

10、,α1≤α.PŠx∈U(x0,α1),考虑函数F(Šx,y)(y0-β≤y≤y0+β).由多元A函数微分中值定理可知,F(Šx,y0-β)=F(Šx,y0-β)-F(x0,y0)=Fx(x0+θ1(Šx-x0),y0-θ1β)·(Šx-x0)+Fy(x0+θ1(Šx-x0),y0-θ1β)·(-β)≤

11、Fx(x0+θ1(Šx-x0),y0-θ1β)

12、·

13、Šx-x0

14、-Bβ

15、θ2(Šx-x0),y0+θ2β)·(Šx-x0)+Fy(x0+θ2(Šx-x0),y0+θ2β)β≥-

16、Fx(x0+θ2(Šx-x0),y0+θ2β)

17、·

18、Šx-x0

19、+BβBβ>-Aα1+Bβ≥-A·+Bβ=0(0<θ2<1),A[收稿日期]2006201205[基金项目]安徽省高校省级教学研究项目(JYXM2003109);安徽大学人才队伍建设经费资助138大学数学第23卷故F(Šx,y0+β)>0.又F(Šx,y)在y0-β≤y≤y0+β上连续,故必存在…y∈U(y0,β),使F(Šx,…y)=0.再由Fy(Šx,y)在y0

20、-β≤y≤y0+β上为正可知,此…y为唯一的.结论得证.定理1(一元隐函数存在定理)如果二元函数F(x,y)满足(i)在闭矩形D={(x,y)∶

21、x-x0

22、≤a,

23、y-y0

24、≤b}上,Fx(x,y),Fy(x,y)连续;(ii)F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0,那么1°存在ρ>0,β>0(ρ≤a,β≤b),使得Px∈U(x0,ρ),存在唯一的y∈U(y0,β),满足F(x,y)=0.即在点(x0,y0)附近,由方程F(x,y)=0可唯一确定隐函数y=f(x),x∈U(x0,ρ),它满足F(x,f(x))=0,f(x0)=

25、y0;2°隐函数y=f(x)在U(x0,ρ)上连续;Fx(x,y)3°隐函数y=f(x)在U(x0,ρ)上有连续的导数,且f′(x)=-.Fy(x,y)证不妨设Fy(x0,y0)>0.1°由于Fy(x,y)在D上连续,Fy(x0,y0)>0,故存在α>0,β>0(α≤a,β≤b),使得Fy(x,y)在D1={(x,y)∶

26、x-x0

27、≤α,

28、y-y0

29、≤β}上恒正,故由引理1知vρ>0(ρ≤α≤a),使Px∈U(x0,ρ),存在唯一的y∈U(y0,β),满足F(x,y)=0.2°Px1∈U(x0,ρ),由1°,存在唯一的y1∈U(y0

30、,β),F(x1,y1)=0,f(x1)=y1.下证f(x)在x1点连续.Pε>0(0<ε<β-

31、y1-y0

32、),取δ0=ρ-

33、x1-x0

34、,则F(x,y)在D2={(x,y)

35、∶

36、x-x1

37、≤δ0,

38、y-y1

39、≤ε}上满足引理1的条