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《数学中的公理化方法（下）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、數學中的公理化方法(下)吳開朗四、數學公理系統的美學標準與某一已知的(舊)數學理論的相容性(相對一致性),可以設法為它在古典數學中構造一美國數學家F.S.梅里特在其所著《工個模型,並且進而證明這個新數學理論的公程中的現代數學方法》一書中曾經說過:“每理系統在該模型中都能夠得以實現,這樣,即一模型都是由一組公理定義的,···公理自身[11]可以把這個新理論的相容性,化歸為新理論必須無矛盾且相互獨立”。所謂一組公理,與建造它的模型(新理論的模型)時所需要即是一個公理系統。關於公理系統的無矛盾的古典數學理論的相容性(相對一致性)。因性,是指借助於演算不可能在一個公理系統此,這種模型法,又
2、可稱之為化歸法。例如,中推出兩個相互否定的命題。關於公理系統我們利用龐卡萊(Poincar´e)模型和球面模的獨立性,是指在該系統中任何一條公理都型,可以把非歐幾何的相容性,化歸為歐氏幾不可能作為其餘各公理的邏輯推論。如果一何的相容性,再利用算術模型,又可進一步把個公理系統具備無矛盾性(即相容性)和獨立歐氏幾何的相容性,化歸為算術理論的相容性,那麼,這個公理系統(或者說這個理論體性。[13]然而,對於一個新理論而言,並不需要系)就是優美的。因此,相容性和獨立性也就是公理系統的美學標準。如此逐步化歸,一般地說,只要是在古典數學獨聯體維林金等編著的《中學數學現代中,能夠為其構造一個數學
3、模型已足,因為古基礎》一書中曾指出:“可以由給定的公理系典數學已經過億萬群眾長期的科學實踐檢驗。統導出的全部不同的命題,一般說來有無窮維林金在《中學數學現代基礎》一書中多個。因此,為了證明給定的公理系統的相容指出:“利用模型法也可以解決所給公理系統性,要想由這一公理系統作出全部可能的推的獨立性問題。如果理論T中的公理A,由論,並且指出其中沒有相互矛盾的命題,這是其它公理既不能證明,也不能否定,則稱公不可能的。為了解決這個難題,曾經創造一種理A是與其它公理相獨立的。要證明所給公特殊的方法,它的名稱叫做模型法”。[12]所謂理A的獨立性,應該建立一個新的公理系模型法,即是欲證明某一新數
4、學理論的無矛統,在其中將公理A換成它的否定,而T中其盾性(一致性),或者欲證明某一新數學理論它公理則保持不變。如果所給的公理系統以12數學傳播十七卷二期民82年6月及用上述方法由它所得到的新公理系統都是一條直線通過A,但不和a相交。},此為黎相容的,那麼,則稱公理A與該理論體系T中氏幾何的平行公理。的其它公理是相獨立的”。[14]假設Σ為一個對於歐氏幾何的公理系統,可以表示為公理系統,並且已證得它是相容的。令Σ=Σ;對於羅氏幾何的公理系統,可以表示為{A1,A2,A3,···,An},欲證其中某一條公{Σ+p18};對於黎氏幾何的公理系統,可以理A(i=1,2,···,n)對於Σ中
5、其餘各條表示為{Σ+p′}。這三種幾何學的公理系i18公理是獨立的,可以先構造一個與Ai相矛盾統都是二十條,所不同的僅僅是平行公理在的命題Ai(也可表示為¬Ai),然後再證明新陳示上的一字之差,但是,由此而推演出的幾構造的公理系統{Σ′+A}具備相容性(其中何定理,則是迥然各異!例如,在歐氏幾何中iΣ′={A,A,···,A,A,···,A}),可推出三角形的內角和等於π,在羅氏幾何12i−1i+1n由此即可推得Ai對於Σ中其餘各條公理具中可推出三角形的內角和小於π,在黎氏幾有獨立性。何中可推出三角形的內角和大於π。現在我們來證明歐氏幾何希爾伯特公理由上述可知,利用模型法不難證明公
6、理系統中平行公理的獨立性:系統{Σ′+p}和{Σ′+p′}是相容的,1818該公理系統共有二十條,按照希爾伯特因而可以斷言:在希爾伯特的歐氏幾何公理著《幾何學基礎》一書中所排列的順序,平行系統中,平行公理對於其餘各條公理是獨立公理可記為p18,而整個公理系統可記為:的。事實上,這即是利用公理系統的相容性來X證明它的獨立性。={p1,p2,p3,···,p20}。至於公理系統的範疇性(Categoric-欲證p18對於Σ′={p1,p2···p17,p19,p20}ity),是指它的任意兩個模型都同構。從直觀是獨立的,可以另構造一個公理系統{Σ′+意義上來講,所謂兩個模型同構,是指它
7、們的p18},其實這個系統即是非歐幾何的公理系元素及元素間的關係與其所研究的問題的性統。其中p18={設a為任一直線,A為a質無關。外的任一點,在a和A所決定的平面上,至近代以來,一些新建立的公理系統,多數多有一條直線通過A,但不和a相交。},此是不完備的。例如,群、環、域的公理系統,就為歐氏幾何的平行公理。是如此。公理系統不具完備性的這些理論,其p18={設a為任一直線,A為a外特點往往是:抽象概括性較高,應用範圍較的任一點,在a和A所決定的平面上,至少廣,公理系統
