strongart数学笔记：论现代数学中的公理化方法

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1、论现代数学中的公理化方法很多人想必都知道，现代数学的一个特点就是它非常抽象，已经远远脱离了原先的直观意义，那么它是如何达到这个抽象境界的呢？我想，其中一个最重要的方法就是公理化，它不只是对既成成果的总结，而且还是创造新概念的一个动机。公理化方面的最常见的版本就是从性质到公理，先发掘某个问题的典型性质，然后把它当成公理，这样就得到一个更高层次的概念，可以包容更多具有此性质的对象。我们对乘法进行公理化，就可以得到群的概念，要是再引入加法，那就可以得到环。事实上，几乎整个抽象代数都是公理化的产物，它把公理当成

2、通常的数学对象来处理，反倒是不那么引人注目了。可像泛函分析这样的学科，恰恰位于公理对象与具体对象之间，因此我们经常在这两个方面徘徊。比如说对于一个Hilbertspace，当它无穷维可分的时候，既可以作为一个可数集上的抽象Hilbertspace进行处理，又可以用它的模型l2来替代。公理化在升华数学概念的时候，常常会丢掉一些不便处理的东西。这里我以度量空间作为例子做个说明，它实际是距离这个概念的公理化，把非负、对称与三角性这三个典型性质直接定义为公理，但作为公理化的度量空间是否包括了所有的距离呢？请看一

3、个单位立方体，取不共面的两条棱，它们所在的直线间的距离是1，再找第三条之间与它相交（或者充分靠近），显然这里直线之间的距离并不满足三角不等式！仔细体会一下的话，可以发现度量空间中升华出来的距离只是点点距离，而不能包含集合之间的距离。事实上，数学概念的公理化过程在不断升华的同时，也在不断抛弃一下枝节概念，前者使得数学思想具有更多的普适性，但后者却使得数学研究的范围越来越窄。一般而言，高层次的理论常常不是完全包含低层次理论的，常常表现为后者的一个局部深化。这里我们有一个微妙的平衡点：公理化方法的初步成果就是

4、模型数学，假若它自身得到发展或者是与数学体系中的其他结论取得联系，那么其价值就能够弥补在这个过程中的损失，否则就可能陷入到死胡同之中。公理化思想在现代数学中无处不在，不仅性质可以升华为公理，甚至一些简单的计算结论也是如此。在初级的代数拓扑书中，一般都要求计算一些同伦群，然后自然就会提出一个问题；到底怎么样的群G可以作为一个复形的n维同伦群呢？答案是任何这样的群都可以，于是就定义出Eilenberg–MacLanespaceK（G，n）.一般说来，新定义的公理化概念总是不能自然嵌入原有的理论框架中，因此就

5、需要创造一个新的符号，然后逐渐来认识这个老外。就这样，在高级的代数拓扑书中，经常就是直接用K（G，N）进行讨论的。假若你还不熟悉这个代数拓扑，那么可以回想一下对π的接纳过程，只是这里的公理化色彩并不是太浓重的。当然，并不是所有的情况都可以得到计算结果，特别是像求积分，解（微分）方程之类的逆向运算，大多数情况都不能直接得到结果。对于那些不是太重要的结果，就不必专门创造新符号了，这里我们又遇到一个微妙的平衡点：对容易解决的情形，一般可以提供体系化的方法（比如一阶线性微分方程的求解）；稍微难一点的，提供一些通

6、用的技术（比如分部积分法）；更难一点的，就专门提供表格查阅，实际应用中还可以使用近似计算；还要难一点的可能目前尚未解决，也就是所谓的开放性问题（比如反向Galois问题），最后用来封顶便是所谓不可能定理（比如一般五次方程无代数解）。有些人可能会觉得逆运算的不可能性是一个遗憾，但我认为这恰恰是数学的魅力所在，假若所有的概念都能够用公理化方法升华，这未免也太平凡了一点啊~综上所述，公理化方法本质上就是反向思维的一种模式，假若这样反向思维结论完备，那么就能够得到高层次的概念；假若其结论不怎么完备呢，所得到的就

7、是已经解决或者是尚未解决反问题，这也使得数学中的理论与问题得到了统一。本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学，似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路，这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之士能够用自己的实际行动支持一下！欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者Strong

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