导数问题中几种特殊处理方法的运用

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1、1O数学通讯——20l3年第1、2期(上半月)·辅教导学·导数问题中几种特殊处理方法的运用姚尉林孙婷婷(湖北省武汉市水果湖高中，430071)导数在解决函数、方程、不等式、数列等问题再令g(x)=z一(1+．z)ln(1+z)，则g(z)时具有独特的作用，在高考题中，以导数为载体的一1一(1+z)·÷一一In(1+z)一一In(1+z)问题丰富多彩，新颖别致，深不可测，而近几年的1十高考题对导数的考查广度和深度也在不断加强，<0，故g(z)在(0，+。。)上为减函数，所以g(z)有的问题难度大，技巧性强．本文结合近几年(尤

2、是2012年)的高考题谈谈导数问题中几种特殊处理方法的运用，需要说明的是：所有例题都只摘厂(z)一在z∈(o，+。。)上为减函数，．要给出了与本文主题有关的条件和问题．于是原命题得证．1．二次求导例3(2012年湖南省高考题)已知函数厂(z)例1(2012年全国新课标卷高考题)求函数一e一，其中。≠0，若对于任意z∈R，不等式1厂()一一+寺厶z的单调区间．_厂()≥1恒成立，求实数a的取值范围．分析易得f(z)一e一1+X，并不能直接解若a<0，则>0时，厂(z)一e一<1，因此不可能有厂(z)≥1恒成立，而n≠0，所以判断其符号，这时想到再次求导，先研究f()的导

3、函数．a>0．1解因为厂(z)一一z+妻z，则f(．z)=而厂(z)一～1，令厂()一0，得Iz一厶一1+．·In．若f(z)>0，则z>!ln；若f(z)<记g()一e一1+X，则g(z)一e+1>0，0，则z0；111当z∈(一Cx3，O)时，f(z)<0．——一——ln一．aaa因此，(z)的单调递增区问为(O，+。。)，单因此，不等式厂(z)≥1恒成立，当且仅当调递减区间为(一。。，O)．．例2(2012年湖北高考样卷题)

4、证明：>⋯tIn1≥1①>0时，(1+n)<(1+m)”．又令g(￡)=t-tlnt，则g(￡)一一lnt．令g()分析不等式的形式不明朗，可以先取对数>0，得01．所以转化．EgO)]=：：g(1)一1．证明要证明(1+n)<(1+m)”，只需证因此，当且仅当一1—1即a一1时，①式成立．明：in(1+)>0

5、，所以只需证明／(-z)一究前一个导函数的性质，使得相关信息浮出水面，在z∈(o，+。。)上为减函数即可．而使得前一个导函数的符号明朗化．例3则是对另一个函数再次求导，得到这一个函数的信息后使得问r_一in(1+工)题得以顺利解决．对导函数或者导函数的一部分再z)一次求导，是近几年高考题中经常需要用到的处理方z一(1+)ln(1+38)法．求导的作用就是通过求极值点确定函数的单调一一——一’区间，从而求出函数的最值(或极值)，只要明白这·辅教导学·数学通讯——2O13年第1、2期(上半月)11个道理，对函数多次求导是很自然的事．因此，当z>0时，2．分类讨论F，(z)

6、一一±盟；>0，例4(2012年天津高考题)已知函数_厂(z)Z一X—in(x+1)，对于任意的z∈[O，+oo)有所以F(z)在X∈(O，+Cx3)时为单调增函数．厂(z)≤如成立，求实数k的最小值．又因为limF(z)一lim—ex-e-X解当k≤0时，取z一1，则厂(1)：1一ln2—斗O+z·0+．7c>0，不合题意；当k≥0时，令F()一厂(z)一一X-ln(x一1im二二：二po+z一0+1)一缸。，则一(一e-)I；oFt(z)一南一2kx一(+e一)l：。一2，所以，当∈(O，+。。)时，有F(z)>2，所以x[2kx一(1—2k)]一一———F广一’

7、a≤2．因此，所求实数a的取值范围是(一。。，2]．令F(z)：0，得Xl一0，z一>一1．评注分类讨论、分离参数是解决此类问题(1)当忌≥1时L丝≤0的两种典型方法．，，F()<0，4．罗必达法则F()在∈[0，+cx3)上单调递减，从而总有例4的解法2分离参数，二次求导．F(z)0，对于立．z∈(O’F