数学问题表征策略研究.pdf

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解题研究》j，旨一llJIl⋯。摘要：问题解决的第一步就是对问题进行表征，生漏解，有时会陷入困境，有时会产生错解．解答此确定问题究竟是什么．一旦采取了合理的方式表征问题时，如果没有看清“m>iz”和“点G是直线CD上题，就形成了良好的问题空间，问题的解决也就开了任意一点”这两个条件就会画出错误的图形(如图1、一个好头．如果问题得不到适宜的表征，那么问题就图2)，从而答非所问．事实上，此题的正确图形是难以解决或无法解决．因此，我们应加强合理表征问图3和图4．题的研究．R关键词：问题表征；转换方法；策略研究问题表征是指解题者通过审题，认识和了解问题的结构，通过联想，激活头脑中与之相关的知识经验，DGCHF图1图2从而形成对所要解决问题的一种完整的印象．国内外的相关研究都表明，数学问题表征是数学问题解决的核心和关键，对问题做什么样的表征，这种表征是否适宜，直接影响到问题解决的难易、快慢和成败．笔者通过对教学和解题研究，提出合理表征数学问题的图39种策略，以期提高学生的思维能力和水平．一、咬文嚼字阅读是解题的首要环节，教师不要包办代替，要引导学生先自己阅读，然后要求学生用自己的话讲解题目的意思．经过一段时间的锻炼，就可以逐渐提高学生的阅读能力和理解水平．同时，在阅读时，要引DC导学生分清层次，抓住细节，学会咬文嚼字．俗话说：图4“细节决定成败．”准确表征细节，往往是解题的关键．例1已知在t~ABCD中，AB=，点G是直线二、模式识别CD上的任意一点，且CG：m(m>凡)，连接BG，交模式分多种类型，有的是教材中的经典例题、习Ac所在的直线于点F，过点F作FH∥CD，交BC所题、方法，有的是在做题过程中总结、提炼出的图形、在的直线于点日，求FH的长．解析：与其他学科中括号的作用有所不同，数学公式、规律等．这些模式的作用是巨大的，引导学生题中的括号往往就是一个条件．忽略括号，有时会产不断积累和熟记解题模式，当面对复杂问题时，学生收稿日期：2014—03—21作者简介：周涛(1970一)，男，河南洛阳人，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究匠堕2年鼾8期 《解题研究⋯llYlJ．IlU。就能迅速、合理地表征问题．当然，对于模式，不但①求抛物线的解析式；要掌握解题步骤，更重要的是理解模式的“灵魂”，切②在该抛物线的对称轴上，是否存在点c，使ABOC的周长最小?若存在，求出点c的坐标；若不忌生搬硬套．存在，说明理由．例2模型：人教版八年级教材中有一道“将军解析：(1)模式识别：如图6，AC是“河”，、E饮马”问题：将军从帐篷地)出发，到一条笔直两定点分别为“帐篷”和“马厩”，即为“将军饮马”的河边Z饮马，然后到马厩地)．将军到河边的什问题．由正方形性质，得出点、关于AC对称．根么地方饮马，可使所走的路程短?据两点之间线段最短，可知如图8，连接DE，交Ac方法：如图5，作点A关于直线Z的对称点c，连于点P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．进而利接CB交z于点P，则+PB的值最小．用勾股定理求出即可．P：tC图5(2)对于②，读题后，进行模式识别．因为OB=模型应用：2，要使ABOC的周长最小，必须BC+CO最小，那么(1)如图6，在正方形ABCD中，是AB上一对称轴是“河”，、D两定点分别为“帐篷”和“马点，BE：2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+厩”，该问题即是“将军饮马”问题．因为点0与点关于直线=一1对称，有CO：CA．所以当、C、PE的最小值是三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+cA最小，此时／XBOC的周长最小．三、表格梳理有些题目条件多、数据多，一下子很难理清各条件之间的关系，也很难建立未知条件和已知条件之间的关系．这时，利用列表的方法可以很清楚地呈现各(2)如图7，在直角坐标系中，点A的坐标为条件之间的关系或规律，从而有利于发现解题的结果(一2，0)，点的坐标为(1，一、／丁)，已知抛物线Y=或方向．似+6+c(口≠0)经过三点A、B、0(点0为原点)．例3今年我省干旱灾情严重，甲地急需要抗旱y用水15万吨，乙地13万吨．现有A、B两水库各调出；A，÷、Dl4万吨水支援甲、乙两地抗旱．从地到甲地50千<米，到乙地30千米；从地到甲地6O千米，到乙地45千米．设从A水库调往甲地的水量为万吨，试设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小．(调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨·千米．)图72014：1~鼾8期堂型团 解题研究》i巨lrI⋯．解析：处理数学应用题，关键是对其中的信息进为另一种符号语言：设⋯，：嘲中有q个0，r行加工，将实际问题转换成数学问题．此题较复杂，-r+s+2t=200个一l，s个1，个2，则,未知条件【r～利用表格对问题进行表征，不但能缩短审题时间，而【r+十sS+4斗￡：=2UU8．且能切准问题命脉．此题的相关信息用如表1所示的为{+i+⋯+；008=一r+s+8t．这样，题目难度一下表格表征后其数量关系则十分清晰．子就降低了很多，已知与未知之间的关系也容易找表1到了．审乙总计五、视角转换A14一14“横看成岭侧成峰，远近高低各不同．”视角不同，B15一一114风景迥异．数学问题，千奇百怪，直接表征目标问题总计15l328时，有时会陷入僵局．我们需要随机应变，转换视角，这样，水的调运量就容易表达了，Y=50x+30×多角度审视题目，将问题等价转化为另一问题．(14一)+60X(15一)+45X(一1)=5x+1275．例6甲、乙两人从相距10km的A、B两地同时四、语言转换出发，相向步行．甲的速度为6km／h，乙的速度为4km／h．甲带一只小狗，小狗以10km，h的速度在所有的问题最初都是在头脑中表征的，如果将其中的数字、符号、算式等写下来，则可以减轻记忆负他们两人之间来回奔跑，碰到乙后立即返回，碰到甲担，同时使问题变得清晰明了．有时，文字语言描述后又立即返回跑向乙，这样小狗不停地在甲、乙两人的问题艰涩难懂，如果注意用字母、代数式、方程、之间来回运动，直至两人相遇．问：在这个过程中，函数等来表征问题，将有助于发现解决问题的途径．小狗共走了多少路程?有时候，一种符号语言转换为另一种符号语言，问题解析：读题后，如果我们仅仅想到如何来表征小就会变得豁然开朗．狗走过的路程，则问题会变得很有难度．换一个视角，例4证明：若3个实数的倒数和与这3个实数想一想，在整个过程中，小狗走了多少时间，则问题和的倒数相等，则这3个实数必有2个互为相反数．变得一目了然了．其实这里只需求出甲、乙两人的相解析：将此题用数式表征：若++上=Y遇时间l0÷(6+4)=1(h)，那么小狗在这个过程中一————一，贝0(+y)(y+)(z+)=0．其中，将题目直在两人之间奔跑，从未停过，整整跑了1h，从而，戈十Y十小狗跑了10km．结论“这3个实数必有2个互为相反数”(文字语言)表征为式子“(+y)(y+)(z+)=0”是解答此题的六、逻辑转换关键．如果理解成“+Y=0或Y+=0或z+=0”“司马光砸缸”的故事传诵千古，要从水缸中救做题时，就麻烦多了．人，就要使人离开水．司马光的机智在于换了一种思例5设⋯，：懈是整数，且满足下列维，一时无法让人离开缸和水，就先砸缸，让水离开条件．缸，实现了人离开水的目标．表征数学问题时，也可(1)一1≤≤2(n=l，2，⋯，2008)；以引导学生转换思维，通过研究原命题的逆命题或否(2)1+2+⋯+2加8=200；命题，再根据这些命题与原命题的关系，最终解决(3)}+；+⋯+；008=2008．问题．求+i+⋯+i。。的最大值和最小值．例73个二次方程+4mx+4m+2m+3=0．解析：此题几乎是纯粹的符号语言描述，过于抽+(2m+1)+m=0，(m一1)+2mx+m—l=O中象，不好理解，也不易寻找解题的切人点．如果表征至少有1个方程有实数根，则m的取值范围是()．盔堕2年鼾8期 《解题研究⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯i{Jj故AB=AD+DE+EB=200+400=600(千米)．(A)一31(B)<1(C)0<<1(D)1<<0解析：3个二次方程中至少有1个方程有实数根，解析：常规解法是：先求出k=2，然后解不等式考虑起来的确复杂．换个思维视角，先表征其否命题：3个二次方程都没有实数根．+-t-1<0，很难做下去．如果用图象表征，画出f16m一4(4m+2m+3)<0，于是有{(2m+1)一4m<0，抛物线Y=+1与双曲线Y=的草图(如图10)，l(2m)一4(m一1)<0．就会立即发现满足不等式++1<0成立的图象应解得一3