时间测度上二阶多点边值问题正解的存在性-论文.pdf

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1、第31卷第3期工程数学学报Vo1．31N。．32Ol4年06月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSJune2014doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2014．03．007文章编号：1005—3085(2014)03—0381．06时间测度上二阶多点边值问题正解的存在性木范进军，孙茂菁(山东师范大学数学科学学院，济南250014)摘要：时间测度上微分方程的多点边值问题可以精确描述许多重要的物理现象，有着广泛的实际应用背景．本文研究时间测度上一类二阶非线性动

2、力方程多点边值问题正解的存在性．我们首先论证时间测度上二阶微分方程多点边值问题等价于某个积分方程的求解问题；其次，构造一个特殊的锥和锥上的特殊泛函以及一个特殊的积分算子；最后，利用锥上的不动点定理，证明了二阶非线性动力方程多点边值问题至少有两个正解．对于差分方程和微分方程两种特殊情况，所得结果也是新的结论．关键词：正解；边值问题；锥；时问测度；不动点定理分类号：AMS(2000)34B10；34G20中图分类号：O175．8文献标识码：A1引言及预备知识时间测度上的动力方程不仅包括微分方程和差分方程作为它的两种特殊情

3、况，而且在应用上有着巨大的潜力．常微分方程的多点边值问题可以精确描述许多重要的物理现象，有着广泛的实际应用背景．由于多点边值问题有其自身固有的难度，人们对多点边值问题的研究起步较晚．文献[1，2]讨论了时间测度上△，动力方程及其两点边值问题的解的存在性；Sun和Li在文献[3]中考虑了时间测度上如下三点边值问题{【9@@_0∈[0j，(1)u(o)一7u△(0)=0，e~u(n)=札()，两个正解的存在性，其中，70，+>0，叩∈(0，p())，0<0．受此启发，我们研究时间测

4、度上如下二阶非线性动力方程多点边值问题△()+I厂(，(￡))=。，∈[0，]T，(2)。)一。)=。，)=m-2n，收稿日期：2012—07-16．作者简介：范进军(1964年1月生)，男，硕士，教授．研究方向：非线性微分方程基金项目：山东省自然科学基金fZR2009AM006)．382工程数学学报第31卷多个正解的存在性，其中OL>0，0，f：[0，T]vxR+---+R+连续，且f(t，·)在[0，]T的任何子集上不恒等于零，ai0，i=1，2，⋯，m一2，0<∈1<2<⋯<一2

5、=[0，+。。)．t=1为方便起见，以下记[0，]=[0，T]nrⅡ'，其中rⅡ'表示一般的时间测度，0，T∈，Ⅱ'．设P是实Banach空间E中的锥，，y是P上的非负连续泛函，对于任意正实数C，我们定义集合P(7，c)=x∈P：7()函，是P上的非负0连续泛函，e(o)=0且存在M>0，使得2()e(x

6、)()，lIxlI^2()，VX∈P(2，C)成立，其中C为大于0的数．假设A：P(2，C)_÷P全连续，且存在0C，VX∈OP(~2，c)；(ii)O(Ax)a，V∈aP(1，0)；则算子A至少存在两个不动点X1，2∈P(2，c)，满足a<1(1)，(1)

7、jlOLX△(0)一Zx(o)=0，XA()=∑一20t(，其中h∈d([0，TIT，R+)．通过A，积分和微分运算法则，易得如下引理．引理2如果d≠0，那么边值问题(3)有唯一解)=一／o(_s))s+jfoTh(s一d喜E．．n一5／o(＼、z。＼s／⋯．第3期范进军，孙茂菁：时间测度上二阶多点边值问题正解的存在性383引理3边值问题(3)的唯一解x(t)满足：(i)x(t)0，t∈【0，]丌；(ii)Xa()>0，t∈【0，)T．证明由XAV()=一h(t)<0，得(t)在[0，T]上是凹的．由d>0可知0<∑

8、‘_一0⋯毫<1，。t=1从而由x(O)及x(T)的表达式易知，x(O)0，x(T)0．因此(t)0，t∈[0，]T．由XaV()=一h(t)<0可知Xa(t)是严格递减的，因此，当t∈[0，)T时，有m一2Xa()>△()=∑nt(，从而XA(t)>0．证毕2主要结果在E=d[0，]中定义范数IIxll=supI(t)I，则E是一个Banac