一定约束条件下矩阵方程AX=B的正交（P,Q）-反对称解-论文.pdf

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1、第27卷第2期湖南理工学院学报(自然科学版)VbI．27No．22014年6月JournalofHunanInstituteofScienceandTechnology(NaturalSciences)Jun．2014一定约束条件下矩阵方程-"-B的正交(尸，O)一反对称解赵冰艳，张剑尘，关剑成(湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭411201)摘要：提出了正交(P，Q)-反对称矩阵的概念，对其结构进行了研究，并利用矩阵的正交三角分解研究矩阵方程AX=B有正交(P，Q)-反对称解的充分必要条件，及通解的表达式．关键词：正交(P，Q)．反对称解；正交三角分解；

2、通解中图分类号：O151．21文献标识码：A文章编号：1672．5298(2014)02．0006．04OrthogonalQ)-SkewSymmetricSolution0fMatrixEquationX=0nSomeConstraintConditionsZHAOBing．yan，ZHANGJian．chen，GUANJian．cheng(DepartmentofMathematics&ComputationScience．HunanUniversityofScience&Technology,Xiangtan411201)Abstract：Thispape

3、rpresentstheconceptoforthogonal，Q)一skewsymmetricmatrix，andstudiestheirstructure．Applyingthegeneralizedo~hogonaltriangulardecompositionformatrix．wederivenecessaryandsuficientconditionsandthegeneralexpressionfortheo~hogonal(尸，Q)-skewsymmetricsolutiontothematrixequationAX=B．Keywords：o~h

4、ogonal(尸，Q)一skewsymmetricsolution；singularo~hogonaltriangular；generalsolution引言用表示，阶单位矩阵，表示矩阵的一个转置，rank(A)表示矩阵的秩，表示所有n×m实矩阵集合，OR表示所有n阶正交矩阵集．本文主要研究以下三个问题：问题1：给定正交对称矩阵P，O∈R，在rank(／+P)=rank(／一Q)约束条件下构造正交(P，O)一反对称矩阵的结构．问题2：给定，B∈，则矩阵方程=B有正交(P，Q)一反对称解的充分必要条件．问题3：给定，B∈，则矩阵方程AX=B的正交(P，Q)一反对称

5、解的通解表达式．通过引入正交对称矩阵_P，Q，构造出正交(P，O)-反对称矩阵的结构，代人矩阵方程=B，则把求矩阵方程AX=B的正交(P，Q)．反对称解转化为求一个矩阵方程组的正交解，并给出其有解的充分必要条件和通解表达式．设P∈““，且P=P，PP：In，即P为正交对称矩阵．若无特别声明，本文中的P，O为给定的正交对称矩阵．1基本概念和相关引理引理1[矩阵A∈，存在非奇异矩阵P∈和Q∈R”，使得收稿日期：2014—03．15基金项目：湖南科技大学研究生创新基金资助项目(S130030)作者简介：赵冰艳(1990一)，女，河南安阳人，湖南科技大学数学与计算科学学

6、院硕士生．主要研究方向：矩阵的计算与应用第2期赵冰艳，等：一定约束条件下矩阵方程=B的正交(a)一反对称解7PAQ=一(PP一≠±，，Q=a-．≠±，)，则称为(P，O)-反对称矩阵．引理2【2]给定．B∈n，则存在正交矩阵∈OR，使得=B的充分必要条件是AA=BB．引理3[3]若有。B∈m，且AA=BB，则．有如下的正交三角分解=(I∑0。0]J，=(I∑0。0Q．()其中∑=diag(o-~，⋯，)>0，，．=rank(A)：rank(B)，U，O∈OR，V∈OR．引理4[3]给定A，B∈，且AA=BB，，B的正交三角分解如(1．1)，则AX=B有正交解X∈

7、OR，且通解为=(；]Q，P∈OR)×-，)(1．2)2主要结论与证明定义设矩阵A∈，若存在正交对称矩阵P∈和Q∈(P，Q≠±，)，使得PAQ=一A，且AA：AA=，，则称为正交(P，Q)一反对称矩阵．下面讨论正交(P，Q)一反对称矩阵的结构．记11：告+，=告(，一P)，：+Q)，Q2=吉—Q)．易知，，Ql，02为正投影阵，且==，==，=0，+=，：=Ql，==Q2，=0，Ql+Q2=．若rank(P~)：rank(Q2)=r，则rank(Pz)=rank(Q1)=一，设=，=u2，=，Q2=，其中U1，∈，，∈‘为列满秩矩阵．以，的列为列做阶矩阵，以，的

8、列为列做n阶矩阵．fEu