一类分数阶微分方程边值问题正解的存在性-论文.pdf

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1、第35卷第2期宁夏大学学报(自然科学版)2O14年6月Vo1．35No．2JournalofNingxiaUniversity(NaturalScienceEdition)Jun．2014文章编号：0253-2328(2014)02一Ol13—04一类分数阶微分方程边值问题正解的存在性邹序焱，谢润(宜宾学院数学研究所，四川宜宾644007)摘要：研究了一类分数阶微分方程的边值问题：fDg+“(￡)+，(“(￡))0，(I“(o)一0，“(1)=0，其中a(1

2、．利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理，在满足适当的条件下，证明了该边值问题正解的存在性．关键词：分数阶微分方程}边值问题；锥拉伸与锥压缩不动点定理分类号：(中图)O175．8(2000MR)34B18文献标志码：A近年来，分数阶微分方程在工程、科技、经济等定义3[函数“()：(O，+∞)一R的a>0阶众多领域都得到了广泛的应用，如在图像处理方面Riemann-Liouville微分是指的应用E1-2~，随着非线性科学的发展，分数阶微分方陬一而()”』：程描述自然界的一些现象更准确．所以现在有许多学者关注分数阶微分方程边值问题解的研究口]．其中一1<<”，右边是在(O，+∞

3、)上逐点本文主要利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定定义的．理，在满足适当的条件下，证明了下列分数阶微分方引理1[4]a>0，如果“EC(O，1)nL(O，1)，程边值问题正解的存在性：则D“(￡)一0有唯一解“()一C1+C2￡。+⋯+CNt一，jD+“+f““一(1)(u(0)一0，(1)一0，其中C∈R，i=1，2，⋯，N，～是大于或等于a的其中a(1<口<2)是实数，D口一是标准的Riemann-最小整数．Liouville微分．厂：[0，+0。)一[O，+∞)连续，其中t引理2[4]a>0，如果“EC(O，1)nL(0，1)∈Eo，1]．有a阶导数属于C(O，1)n

4、L(O，1)，则+D+“()一()4-Cl+C2t一+⋯+CNt一N，1预备知识其中C∈R，i=1，2，”·，N，N是大于或等于a的首先给出分数阶微分和分数阶积分的定义．最小整数．定义1F函数：定理1[8设E是Banach空间，PcE是锥，r+∞I、(s)一Ie一ds．和。是E中的有界开集，0∈，n，J0A：Pn(n一)一P全连续，如果A满足下列条定义2[函数“(￡)：(0，+oo)一R的a(a>件之一：0)阶Riemann—Iiouville积分是指(i)I1Au1I≤lI，V“EPna，且IlA“1l≥Ig+u)一高j。“)『)dlI，V“EPnan(即范数锥拉伸)，其中

5、右边是在(O，+o。)上逐点定义的．(ii)lAuI≥I，VEPnaf2，且IlA“Il≥收稿日期：2013—06一i8基金项目：国家自然科学基金资助项目(61370203)；四川省教育厅青年基金资助项目(08ZB002)；宜宾学院科研基金资助项目(20l1Q25)作者简介：邹序焱(1983一)，男，讲师，硕士研究生，主要从事非线性泛函分析研究，(电子信箱)zxy03102@163．CON．114宁夏大学学报(自然科学版)第35卷lIUlf’V“∈Pna(即范数锥压缩)，3)Vt，S∈C(0，1)，则A在PN(n。一n)中存在不动点．r(a)G(，s)一(1一)t"-一(￡一

6、s)≤(1一s)r；4)Vt，s∈C(O，1)，2主要结果及证明r(a)G(￡，s)一(1一s)t"-一(￡一s)≥引理3给定H(￡)∈c[o，1]，1<口<2，方程(口一1)(1一s)rt"-s(1一￡)．_。’证明根据G(t，s)的表达式，可知性质1)～3)(2)1M(O)一0，M(1)一0成立．当S≤t时r(a)G(t，s)一(1一s)。一tr一(t一5)一一有解(口一1)I。du≥)一Gs)H(a一1)(t—ts)o-(S—st)一其中(a一1)(1一s)一。t"-S(1一￡)，1一s)t"-一(t—s)——————一’1

7、当S≥t时r(口)G(t，s)一(1一s)tr一，。<≤s≤1．t(1一s)。(1一s)≥证明对边值问题(2)，由引理2口J得t"-(1一s)。(1一￡)≥u(t)一一Po+H()+Clto-+C2。，U-。(1一s)。s(1一￡)≥即(a一1)e-。(1一s)r。s(1一f)，0