广义导数及其应用

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1、第!$卷第"期广西右江民族师专学报&’’(年)月9L-E!$?>LE"F83<:I@7584J5H;4<335@5:87=<>83=7=5;@G8>@K=F,ME&’’(广义导数及其应用刘孝书!河南商丘师范学院!数学系"河南商丘!*%)’’’#!摘!要"!文章提出了一种广义导数的概念!得到了广义导数的运算法则!以及连续函数的中值定理"!关键词"!广义导数#中值定理#函数#连续#梯度!分类号"!

2、’(=-"-5#$’>-,?-5’4#*’4-&#",@*&!;;$’1#*’("45"167’-8/,#!"#$%&’"(&)*+$&,"’$&-./%2,$(5B-16"$.,"%/7)88"5"%2,$(5B-1C"($(*%)’’’%7,-($$!!!6&*5#1*&=M.C/0WNWQU%_Q/M.ULP,RQNMQ_RLMRQW.LVSQMQUN-/BQPPQU/TN./TQ%NMPPQU/TQ/.0LWQU‘N./LMN-U,-Q0NMP.CQ1QNMTN-,Q.CQLUQ1LVRLM./M,L,

3、0V,MR./LM0E!!7-%8(5,&&SQMQUN-/BQPPQU/TN./TQ’1QNMTN-,Q.CQLUQ1’V,MR./LM’RLM./M,N./LM’SUNP/QM.!!引言与广义导数的概念&’世纪%’年代相继出现了各种广义导数的概念#其中较著名%较有应用价值的是加拿大的4-NUYQE:EJ&!’的局部3/W0RC/.B函数的广义梯度#但这个概念也有许多局限之处(首先是对局部3/W0RC/.B函数才能定义广义梯度#对一般的连续函数无法定义)其次是在函数+!9"的可微点9的广义梯度!+!9"不一定

4、和普通导数’’一致$本文利用上%下极限的概念提出的广义导数的概念克服了这两个缺点#且和广义梯度一样具有许多良好的性质$同时#由于利用了上%下极限#使广义导数的运算及证明都比较简单#本文只讨论一维的情况$")当"%为有限数时#称闭区间&"#’为函数:;

5、有一个为=>时#也称区间*"##+为

6、学系副教授#主要从事函数论的教学与研究$!!+广西右江民族师专学报,&’’(年第"期故当

7、’9&’9-’故+!9"在9;’的广义导数为?+!’";&-!#!’#和4-NUYQ的广义梯度重合$)&!90/M9’’&!’9例B!函数+!9";(*’9;’在9;’是可微的#且+A!’";’$容易求出+!9"在9;’的广义导数?+!’";’#则可求出+!9"在9;’的广义梯度!+!’";&-!#!’$)!90/M9’’&&’9例C!函数+!9";(*’9;’在9;’不可微$容易求出+!9"在9;’的广义导数?+!’";&-!#!’$但+!9"在9;’的任一邻域都不满足3/W0RC/.B条件$故在9;’不存在

8、广义梯度$我们知道#