实验探究一道中考平面几何题的题源

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1、２０１４年第５期中学数学教学２１实验探究一道中考平面几何题的题源安徽省歙县中学郑观宝（邮编：２４５２００）1问题展示角形．问题如图１，正六边形ABCDEF的边长故PM＋PN＝MH＋HP＋PN＝AB＋为a，P是边BC上一动点，过P作PM∥AB交BH＋HE＝AB＋BE＝３a．AF于点M，作PN∥CD交DE于点N，事实上，原中考题（２）是（３）（判断四边形（１）①∠MPN＝°；OMGN是否为菱形）的一个步骤，因此，下面重②求证：PM＋PN＝３a；点实验探究问题（３）的真正源头在哪里？（２）如图２，点O为线段AD的中点，连接

2、2实验探究△PMN“心”的性质OM、ON，求证：OM＝ON；在枟几何画板枠中，通过实验容易发现（３）如图３，点O为线段AD的中点，OG平△PMN的下列“心”的性质：分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的性质1△PMN的外心为定点（正六边形四边形，并说明理由．的中心O），且∠MON＝１２０．证明如图２，由于正六边形ABCDEF的边AB、CD的中垂线交点就是该正六边形的中心O，又由于等腰梯形上下两底的中垂线重合，所以PM、PN的中垂线的交点也是O点，即△PMN的外心为O点．由于∠MPN＝６０，由（１）可知∠MON＝这

3、是２０１４年安徽省初中毕业学业考试数学２∠MPN＝１２０（同弧所对的圆心角是圆周角的°试题．其中“PM＋PN＝３a”的题源是非常明显两倍）；的：将正六边形还原成为正三角形，就可发现原考题第（２）小题正是这条性质．“PM＋PN为定值（边长）”就是等腰三角形的性性质2△PMN的重心G１始终在定直线质：过等腰△ABC底边BC上任意一点P作两AD上（如图５）．腰的平行线，与两腰分别相交于M、N两点，则证明取PN的中点J，PM＋PN为定值（腰长）．取MJ的靠近J点的三等分在各类中考试题中，还经常用到下列题源：点G２，过M、G２

4、、J作直线（ⅰ）若点P在等腰△ABC底边BC两端的BC的垂线，垂足分别为M１、延长线上，则PM－PN为定值（腰长）；G３、J１，则只要证：G２G３＝（ⅱ）等腰△ABC底边３a．BC所在直线上任意一点P２到两腰的距离之和（或差）为由三角形相似知识定值（腰上的高）．可得G２G３＝为了方便后续探究，下１JJ１＋（MM１－JJ１）面仅给出一种证明方法：如３图４，连接BE交PM于H２１＝JJ１＋MM１３３点，在正六边形ABCDEF中，PN∥CD，又BE１∥CD∥AF，所以BE∥PN∥AF．＝（PM＋PN）sin６０３又PM∥A

5、B，所以四边形AMHB、四边形３HENP均为平行四边形，△BPH为等边三＝a．２２２中学数学教学２０１４年第５期故G１与G２重合且在AD上．又HM＝HN，故△HMN为正三角形．性质3△PMN的垂心始终在定直线性质３、４的证明与△PMN“心”的性质２的AD上．证明类似，限于篇幅，具体过程这里略去．证明由于任意三角形的外心、重心、垂心证明性质5因为△MON为等腰三角形，共线（即所谓的欧拉线），所以△PMN的垂心一所以其“四心”都在顶角MON的平分线上，即在定在直线AD上．过O点的同一直线上．性质4△PMN的内心在某定二次

6、函数上4关于原考题（3）“源”的探究移动（如图６）．将考题（３）的图形简化（由于证明过程会用到高中知识，限于篇幅，成等腰梯形，就变成“判断这里仅给出实验结果图）等腰梯形内接菱形”的3实验探究△OMN“心”的性质问题：同上，通过数学实验容易发现△OMN的下题源探究1如图８，列“心”性质（如图７）：等腰梯形ABCD的底角性质1△OMN的外心的轨迹就是线段∠A＝６０，AB为其外接圆°EF．的直径，若AM＝CN，O为AB的中点，OG平性质2△OMN的垂分∠MON，则四边形OMGN为菱形．心H的轨迹就是线段BC．简证连接OC、

7、OD．易推△OAM碖性质3△OMN的△OCN，则∠MON＝∠AOC＝１２０，又重心G１始终在平行于AD∠MOG＝∠AOD＝６０，则∠MOA＝∠GOD，°的定直线上．于是△MOA碖△GOD，故OM＝OG，从而性质4△OMN的△MOG为正三角形，故四边形OMGN为菱形．内心I始终在平行于AD由此可见，上述等腰梯的定直线上．形的内接菱形OMGN有无性质5△OMN的外心、内心、重心、垂心穷多个，且“AM＝CN，O在过O点的同一直线上．为AB的中点”是它的一个先证性质1在图７中，设MN的中垂线与充分条件．我们自然要问，EF相交

8、于点G．则只要证GM＝GN＝GO；由这个条件是“四边形OMGN１为菱形”的充要条件吗？于OG垂直平分MN，∠MOG＝×１２０＝６０，°°２题源探究2如图９，等腰梯形ABCD的底则只要证：OM＝OG；角∠A＝６０，AB为其外接圆的直径，若四边形连接OE、OF，由∠AOF＝∠MOG＝６０可OMGN为菱形，求证：（１）AM＝C°N；（２）O为得∠AO