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《一道平面几何题的各种不同解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、一道平面几何题的各种不同证法2003年（岳阳）中考卷第五题钟岳林(湘阴六中)摘要：本文一方面从各种不同角度出发，给出了原题的多种不同证法，这有利于培养学生的发散思维，提高学生思维的灵活性；另一方面把原题放到更一般的背景下去研究，得出了更一般的结论，这有利于提高学生思维的深刻性；再者通过建立两个不同参数之间的联系，反映了数学知识本身具有高度的统一性.关键词：梅内劳斯定理塞瓦定理向量原题摘录：如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，连结CE，过B作BF⊥CE交AC于F.求证:CF=2FA.1.运用平面几何知识证.法1:不作辅助线AB2EM1由已知条件=,=,BE1MF4ABEMCF由梅内劳
2、斯定理有··=1CF=2FA.BEMCFA法2：作辅助线法2.1过F点作FG⊥AB交AB于点G,FG1AG1由题意易证AG=FG;=;=,GB2GB2AFAG1又由FG∥CB==FCGB2∴CF=2FA法2.2过F作FG∥AB交CB于点G由题意易证FG=CG;由ΔFGB∽ΔCBEFGCB2CG2===GBBE1GB1CFCG2又由FG∥AB==CF=2FAFAGB1法2.3延长BF交AD于点G由题意易证ΔAGB∽ΔBECAG=BE;又易知BC=2BEAGAF1∴BC=2AG又ΔAGF∽ΔCFB==CF=2FABCFC2法2.4过E作EG∥BF交AC于点G1CM4由题意易证AG=GF=AF
3、（三角形中位线定理）；=2ME1CFCMFM4∵EG∥BF∴===FGMEGE1CF41=CF=2FAAF12法2.5过E作EG∥AC交BF于点G1CFCM4由题意易证EG=AF（三角形中位线定理）;==2EGME1CF41=CF=2FAAF12法2.6作AG⊥CE的延长线于点G1由题意易证ΔAGE≌ΔBMEME=EG=MG,2CFCM又由AG∥MC=由CM=4MEFAMGCFCM2==CF=2FAFAMG1法2.7作AG⊥BF的延长线交于点G则AG∥CE又AE=EB∴AG=2EM;由AG∥CE有ΔAGF∽ΔCMFAGAFAG1=又由MC=4ME=2AG=MCFCMC2CF=2FA1法2
4、.8延长CB至G使BG=EB=EA=BC,连结AG.2由题意易证ΔAGB≌ΔCBFAG∥FBCFCB2∴==CF=2FAFABG1法2.9延长BF交CD于点G,由题意易证ΔCGB≌ΔBCEGC2GC=2BC=2AB;∴=AB1CFGC2又由AB∥CD有ΔGCF∽ΔBAF==AFBA1∴CF=2FA法2.10连结AM并延长AM交CB于点G，由题意易知AB=2EBABEMCGMC=4ME；由梅内劳斯定理有··=1BEMCGBAEBGCFCG=2GB；塞瓦定理有··=1CF=2FAEBGCFA2.运用向量知识证a+λb法2.1设BA=a,BC=b令AF=λFC则BF=1+λ1又EC=b-a;由
5、EC⊥BFEC⊥BFEC·BF=02a+λb1即·(b-a)=02λb=a1+λ2222aaa2λ=;令k=(k为参数),则2λ=k，当k=1(即=1）时，222bbb1λ=即CF=2FA2k注:当k为其它非负实数时,λ=即CF与FA的比值随k的值变化而发生改变,而原题则是当k等于1时的2一种特殊情况.法2.2以A点作为原点，以AB作为X轴，AD作为Y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2则22A（0，0），B（2，0），C（2，2）E（1，0），设FC=λAF,则F(,)∴EF=(1,2)1+λ1+λ22FB=(2-,-)又∵EC⊥FBEC·FB=01+λ1+λ221×(2-)+2×(-
6、)=0λ=2CF=2FA1+λ1+λ3.运用解析几何证法3.1以A点作为原点，以AB作为X轴，AD作为Y轴建立直角坐标系，设正方形的边长为2则A（0，0），E（1，0），B（2，0），C（2，2）,依题意容易求得：11KCE=2，则KFB=-LFB：y=-x+122又KAC=1LAC:y=x22则F为两直线LBF和LAC的交点，解方程组容易求得F（，）332-2AF31∴==CF=2FAFC220-3法3.2以AC作为X轴,以AC的中点O作为原点建立平面直角坐标系,设A(-1,0),C(1,0),O(0,0)x-1yB(x,y),F(m,0),则E(,),依题意有x+y=1······①
7、；22yyyyKEC=,KBF=又∵EC⊥BF∴KEC·KBF=-1即·=-1x-3x-mx-3x-mx-(m+3)x+3m+y=0······②x=cosθ3cosθ-1由①令y=sinθ(θ为参数)代入②则有m=3-cosθ1+m11+cosθ设AF=λCF由λ=λ=·,1-m21-cosθ1当θ=90°时有cos90°=0即λ=∴CF=2FA2注：当θ取不同的值时，λ随θ的值的变法而发生改变，原题是当θ=90°时的一种特殊情况
