三角形共轭中线的性质及应用

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1、1f1等数学三角形共轭中线的性质及应用沈文选(湖南师范大学数学奥林匹克研究所，410081)中图分类号：O123．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2016)02-0002—08(本讲适合高中)显然，三角形的外共轭中线就是在三角形顶点处的外接圆的切线．1知识介绍如图1，设M为△ABC的边BC的中点，定义1三角形的一个顶点与对边中点AT为BAC的平分线，记△ABC的外接圆的连线称为三角形的中线．这条中线关于这为圆个顶角的平分线对称的直线称为三角形的共轭中线(或陪位中线)．显然，直角三角形斜边上的高线就是斜边上的共轭中线．为了

2、讨论问题的方便，将三角形边的中点视为边的内中点，则三角形的中线可称为三角形的内中线，其共轭中线称为内共轭中图1线．三角形的三条内共轭中线的交点称为内若AD关于AT与AM对称，则AD为内共轭重心(或共轭重心，这可由性质1(1)及共轭中线；塞瓦定理的逆定理推证)．若AN／／BC，与圆，交于点N，则4Ⅳ为无穷远点可看作线段的外中点．△ABC的外中线；定义2过三角形的一个顶点且平行于若AE关于AT与AN对称，则AE为外共对边的直线称为三角形的外中线．任两条外轭中线．中线的交点称为三角形的旁重心．注意到，BAM=CAD．显然，三角形的一个顶点处

3、的外中线、内则BAN=CAE中线、两条边组成调和线束，且过此顶点的圆==>CAE=ABC截这四条射线的交点组成调和四边形的四个AE为圆，的切线．顶点．反之，若AE为圆厂的切线，则AE关于定义3三角形的外中线在这个顶点处BAC的平分线AT对称的直线为外中线4关于顶角平分线对称的直线称为三角形的外图1中的AN、AM、AB、AC为调和线束．共轭中线．任两条外共轭中线的交点称为旁若AM与圆厂交于点L，则四边形NBLC为调共轭重心．和四边形．图1中的点Gc、K分别为△ABC收稿日期：2015—11—04的一个旁重心、旁共轭重心．2016年第2期

4、3三角形内、外共轭中线有如下性质：故AE为△ABC的外共轭中线性质1在△ABC中，点D在边BC上．铮NAT=TAE甘NAB=CAE点E在边BC的延长线上．则甘CBA：CAE甘△BAE∽△ACE(1)AD为△ABC的内共轭中线的充分BAAEBEAB2AE．BEBE铮一一甘。ACCEAE。。A—C2—CE．—AE一EC。必要条件为筹=BD；推论1三角形的一个顶点处的内共轭(2)AE为△ABC的外共轭中线的充分中线、外共轭中线、两条边组成调和线束，且必要条件为筹=BE过此顶点的圆截这四条射线的交点组成调和四边形的四个顶点．证明(1)如图2，

5、设M为边C的中点．事实上，女口图3’由=筹=知-／IB、C，、E为调和点列，即AD、AE，AB、AC为调和线束．若过顶点A的圆与AD、AE、、ACR分别交于点D、E、、C，则四边形BDCE、、／／／／／，、为调和四边形．显然，在图3中，E为边BC延长线上一图2点，AE为△ABC的外共轭中线的充分必要则BM=MC．条件为AE=EB·EC．过A、M、D三点的圆与AB交于点B．，与性质2在锐角△ABC中，点D在边BCAC交于点C内，为顶点A所对应的旁共轭重心(即点故AD为AABC的内共轭中线B、c处切线的交点)．则AD为△ABC的内共轭中线

6、的充分必要条件为A、、三点共线．铮BAM=CAD铮B1M：DC1证明充分性．~=~B1C1／／BC铮=如图4，当A、D、三点共线时，设直线AD与圆厂交于点，联结BX、XC．ABBB】·ABBM·BDBD．甘A—C2—CC—AC—CM．—CD’．1(2)如图3，作△ABC的外中线AⅣ，与圆，交于点Ⅳ．r幽4由△∽△，△CX∽△KaACBXBCCX．ABKAAKAAC图3AB·CX=AC·BX．①则NAB=ABC．设为BC的中点，联结A4中等数学在四边形ABXC中，应用托勒密定理有与第三条内共轭中线交于一点(旁共轭重AB·C+C·BX=B

7、C·AX心)．2AB·CX=2BM·AX特别地，直角三角形的直角顶点对应的ABAX旁共轭重心为无穷远点．‘。～一BMxC’性质3在△ABC中，点E在边BC的延注意到，ABM=ABC=AXC．长线上．过点E作△ABC外接圆的切线，切点故△ABM∽△AXC为，与BC交于点则为△ABC的=XAC．外共轭中线的充分必要条件是AD为其内共从而，AD为锐角△ABC的内共轭中线．轭中线．必要性．事实上，由推论1及调和线束的特性即如图4，当AD为锐角△ABC的内共轭中可得上述结论．线，即为边BC的中点时，BAM=CAD．这里再给出一种证法．设AD与圆

8、，交于点，联结BX、XC．证明如图5．由△ABM∽△AXC，△ABX∽△AMC==AB·XC=AX·BM．AC·BX=AX·MC．注意到，BM=MC．则AB=．②设过点JE}的圆厂的切线与交于点E，过点C的圆，的切线与交