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《第十七章 积分变换法求解定解问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第十七章第十七章积分变换法求解定解问题积分变换法求解定解问题在复变函数理论中，我们曾用拉普拉斯变换法求解常微分方程．经过变换，常微分方程变成了代数方程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程的解．1积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法．对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解．积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途．尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次
2、时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解．利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变量法不能得到的．2特别是对于无界或半无界的定界问题，用积分变换来求解，最合适不过了．（注明：无界或半无界的定界问题也可以用行波法求解）用积分变换求解定解问题的步骤为：第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换；对于自变量在(,−∞∞)内变化的定解问题（如无界域的坐标变量）常采用傅氏变换，而自变量在3(0,∞)
3、内变化的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换．第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程；第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解．4１１7.7.１１傅里叶变换法解数学物理定解问题傅里叶变换法解数学物理定解问题用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续
4、的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分．因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法．本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式．5下面的讨论我们假设待求解的函数u及其一阶导数是有限的.17.1.1弦振动问题例17.1.1求解无限长弦的自由振动定解问题（假定：函数u及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．这一定解问题在行波法中已经介绍，读者可以比较行波解法和傅氏解法）62⎧ua−=u0,(−∞5、=ϕ()
6、t=0⎪⎩ux
7、(=ψ)tt=0【解】−iωx应用傅里叶变换，即用e遍乘定解问题中的各式，并对空间变量x积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对：7∞−iωxUt(,ω)=∫u(x,t)edx−∞1∞iωxux(,t)=∫U(ω,t)edω2π−∞简化表示为F[(ux,t)]=U(ω,t)对其它函数也作傅氏变换，即为F[]ϕ()x=Φ(ω)F[(ψx)(]=Ψω)8于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题2⎧∂U22⎪+=aUωω(,t)02⎪∂t⎨Ut(,ω)
8、=Φ(ω)⎪t=0⎪U
9、t(,ωω)
10、)=Ψ(⎩tt=0上述常微分方程的通解为iiωat−ωatUt(,ωω)=+A()eB(ω)e9代入初始条件可以定出111A()ω=Φ()ωω+Ψ()22aiω111B()ω=Φ()ωω−Ψ()22aiω这样11iiωatωωat1−−iat1iωatUt(,ωω)=Φ()e+Ψ(ω)e+Φ(ω)e−Ψ(ω)e22ωωaai22iΨ()ω=Φ(ωω)cos(at)+sin(ωat)ωa101最后，上式乘以并作逆傅氏变换．应用延迟定2π理和积分定理得到11xa+tux(,t)=+[ϕ(xat)+ϕψ(x−at)]+
11、∫(ξ)dξ22axa−t这正是前面学过的的达朗贝尔公式.11例17.1.2为了说明傅氏变换法解非齐次方程特别简便，我们特举一强迫弦振动问题：求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题2⎧ua−=uf(,xt),(−∞12、=ϕ()t=0⎪⎩ux
13、(=ψ)tt=0【解】根据与例17.1.1相同的方法，作傅氏变换12FF[ux(,)t]=U(ω,)t,[f(x,)t]=F(ω,)t,FF[ϕω(xx)]=Φ(),[ψ()]=Ψ(ω)我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方程的问题2⎧∂U22⎪+=aUω(,ωω
14、t)F(,t)2⎪∂t⎨Ut(,ωω)
15、=Φ(),⎪t=0⎪Ut(,ωω)
16、=Ψ(),⎩tt=013上述问题的解为1(tΨω)Ut(,ω)=−∫F(ωτ,)sinωa(tτ)dτ+Φ(ω)cos(ωat)+sin(aωt)0aaωω利用傅氏变换的性质有−1F[(Ftω,)]=
