数学建模常见题型归类分析

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1、第!!卷第"期淮北煤师院学报#$%&!!’$&"!(()年*月+$,-./%$01,/23425$/%6.7,89-:;4/<=4-85$%%4>4?4@&!(()中学数学建模常见题型归类分析陈锴A淮北煤师院附属中学B安徽淮北!"C(((D摘要E本文选取典型的应用题例B从数学建模的思维方法、解题步骤B对中学常见的建模类型归类分析B以期提高学生对数学建模方法总体的感性认识B学会如何提炼数学思想B进一步提高建模能力&关键词E中学F数学建模F类型中图分类号EGH""&C文献标识码E5文章编号E)(((I!!!JA!(()

2、D("I((J"I(K新数学课程目标的一个重点是让学生全面了解数学背景、意义和价值B尤其是它的应用性与方法&数学建模训练是达此目标的一个极好途径&国内近几年的实践与研究也使得数学建模B包括它的教育价值和教学特征B逐渐为众多数学教育工作者所了解和认同&在近几年的中考和高考中B这方面题目的数量和分值逐渐增加B特别是应用题材更贴近实际生活B灵活性也大大提高&题型的变化、要求的变化B必然推动我们教学目的、方式的更新B那就是在教学中更应注重培养学生的数学素质&因此B在中学阶段渗透建模思想是非常必要的&本文从数学建模的思维方法

3、、解题步骤B对中学常见的建模类型作一归类分析&)建立或转化为函数模型这类问题可归为建模中的最优化问题B如造价用料量最少、利润最大等B均可透过实际背景建立起变量之间的目标函数B转化为函数极值问题B通过确定变量的限制条件B运用函数知识和有关方法解决问题&例1把一根直径为!LK((MM的圆木B加工成矩形截面的柱子B问如何锯法可使废弃的木料最少N分析这是一个简单的实际问题B要从理论上来解决&首先需要把它抽象成一个纯数学问题&其实问题的核心就是要使废弃的木料最少B或者换言之为使柱子的截面积最大B所以问题就可抽象为求内接于直径

4、为!的已知圆O的最大矩形面积A图)D&考察圆木的横截面B可建立下列三个模型6E设圆的直径为!B圆内接矩形的面积为"B一边#$的长为%B则另一边长为0!!&%!&所以"L%·0!!&%!&问题转化为求%为何值时B"值最大&利用重要不等式或一元二次函数0!知识不难求得当%L!L!((0!A’’D时B废料最少&!!!66E设#(与#$的夹角为!B问题转化为!为何值时B)L82.!!最大&利用有关三角知识!收稿日期E!(()I(KI()作者简介E陈锴A)*HHIDB男B安徽怀宁人B学士B中教一级!"淮北煤师院学报#$$%年

5、不难求解!&"’(时)!最大*"#$##%&#+++,设矩形长为")宽为#)则问题化归为约束条件{下)求!&"#的最大值*"-$)#-$可以看出)模型+、++符合一般解中学数学题的思路)而模型+++则属于建模中数学规划问题的形式了*#建立或转化为方程或不等式类型在生产和日常生活中广泛存在着数量之间的相等或不等关系*如估计生产数量、核定价格范围、盈亏平衡分析、投资决策等)则可挖掘实际问题中隐含的数量关系)转化为不等式.组/来求解或求目标函数在闭区间的最值问题*例2某厂生产中所需产品’可外购)也可自己生产*如外购每个价

6、格是%*%$元)如自产则每月的固定成本将增加0$$元)并且每生产一个产品’的其它费用需$*1$元)若你作为该厂厂长)如何决策是外购或自产2分析在固定成本增加0$$元不变的条件下)决定’外购或自产的关键在于需求量*设该厂每月需要"个’产品)则外购费用为%*%$"元)自产费用为.$*1$"30$$/元)当外购费用大于自产费用时则自产)否则外购*转化为比较%*%"与$*1"30$$的大小*不难求得转折点为%1$$个*4建立或转化为数列模型现实生活中的许多经济问题)如增大率、利息、分期付款等与时间有关的实际问题5生物工程中

7、的细胞繁殖与分裂问题5人口增大、生态平衡、环保、物理学上的衰、裂变等)常通过相应的数列模型求解*例3用分期付款的方式购买价格为%%’$元的电冰箱*如果购买时先付%’$元)余款#$次付清)以后每月付’$元加上欠款的利息*若一个月后付第一个月的分期付款)月利率为%6)那么第%$个月该付多少钱2购冰箱款全部付清后)此人实际上共付多少元2分析余款%$$$元按题意分#$次付清)每次付款数组成一个数列7()8)其中(%&’$3%%$$$9%6&1$元)(#&’$3.%$$$:’$/9%6&’;*’元)⋯⋯)()&1$:.):%

8、/)这里)&#%%)#)⋯)#$)7()8为一个等差数列)(%&1$)公差&&:)从而(%$&’’*’元)实付款为%#’’#元*这类问题的关键是构造出数列的具体形式)要熟练地将已知条件准确地表达为数列所刻划的数学关系)熟悉有关问题的计算方法*"建立或转化为几何模型的类型日常中常涉及一定图形属性的应用问题)如航行、三角测量、边角废料加工、工程定位、拱桥计算等应