高中数学专题：抽象函数常见题型解法.docx

《高中数学专题：抽象函数常见题型解法.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。一、定义域问题例1.已知函数f(x2)的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。f(x)的定义域是[1，2]，求函数f[log1(3x)]例2.已知函数2的定义域。二、求值问题f(2)1，f(6)1例3.已知定义域为R的函数f（x），同时满足下列条件：①5；②f(xy)f(x)f(y)，求f（3），f（9）的值。三、值域问题例4.设函数f（x）定义于实数

2、集上，对于任意实数x、y，f(xy)f(x)f(y)总成立，且存在x1x2，使得f(x1)f(x2)，求函数f(x)的值域。解：令xy0，得f(0)[f(0)]2，即有f(0)0或f(0)1。若f(0)0，则f(x)f(x0)f(x)f(0)0，对任意xR均成立，这与存在实数x1x2，使得f(x1)f(x2)成立矛盾，故f(0)0，必有f(0)1。由于f(xy)f(x)f(y)对任意x、yR均成立，因此，对任意xR，有f(x)f(xx)f(x)f(x)[f(x)]2022222下面来证明，对任意xR，f(x)0设存在x0

3、R，使得f(x0)0，则f(0)f(x0x0)f(x0)f(x0)0这与上面已证的f(0)0矛盾，因此，对任意xR，f(x)0所以f(x)0评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题例5.设对满足x0，x1的所有实数x，函数f(x)f(x)f(x1)1x满足x解析式。，求f（x）的f(x)f(x1)1x(1)x1解：在x中以x代换其中x，得：f(x1)f(1)2x1(2)xx1x1再在（1）中以x1代换x，得f(1)f(x)x2(3)x1x1f(x)x3

4、x21(1)(2)(3)化简得：2x(x1)x1评析：如果把x和x分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。五、单调性问题例6.设f（x）定义于实数集上，当x0时，f(x)1，且对于任意实数x、y，有f(xy)f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。证明：在f(xy)f(x)f(y)中取xy0，得f(0)[f(0)]2若f(0)0，令x0，y0，则f(x)0，与f(x)1矛盾所以f(0)0，即有

5、f(0)1当x0时，f(x)10；当x0时，x0，f(x)10而f(x)f(x)f(0)1f(x)10所以f(x)又当x0时，f(0)10所以对任意xR，恒有f(x)0设x1x2，则x2x10，f(x2x1)1所以f(x2)f[x1(x2x1)]f(x1)f(x2x1)f(x1)所以yf(x)在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题例7.已知函数f(x)(xR，x0)对任意不等于零的实数x

6、1、x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，试判断函数f（x）的奇偶性。解：取x11，x21得：f(1)f(1)f(1)，所以f(1)0又取x1x21得：f(1)f(1)f(1)，所以f(1)0再取x1x，x21则f(x)f(1)f(x)，即f(x)f(x)因为f(x)为非零函数，所以f(x)为偶函数。七、对称性问题例8.已知函数yf(x)满足f(x)f(x)2002，求f1(x)f1(2002x)的值。解：已知式即在对称关系式f(ax)f(ax)2b中取a0，b2002，所以函数yf(x)的图象关于点（0，2002

7、）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数yf1(x)的图象关于点（2002，0）对称。所以f1(x1001)f1(1001x)0将上式中的x用x1001代换，得f1(x)f1(2002x)0评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数yf(x)对一切实数x都满足f(ax)f(ax)2b，则函数yf(x)的图象关于点（a，b）成中心对称图形。八、网络综合问题例9.定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f(mn)f(m)f(n)，且当x>0时，0

8、（1）判断f（x）的单调性；（2）设A{(x，y)

9、f(x2)f(y2)f(1)}，B{(x，y)

10、f(axy2)1，aR}，若AB，试确定a的取值范围。解：（1）在f(mn)f(m)f(n)中，令m1，n0，得f(1)f(1)f(0)，因为f(1)0，所以f(0)1。在f(mn)f(m)f(n)中，令mx，nx因为