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1、高考数学中的绝对值问题绝对值是高中数学中的一个基本概念，“绝对值问题”历来是高考中经常涉及的问题，可谓常考常新，与函数、导数、数列、不等式证明等知识交汇相结，成为高考的“新宠”。特别是“绝对值”问题为背景与初等函数结合所构成的综合题。由于它们在知识上具有综合性，题型上具有新颖性，解题方法上具有灵法多变，还需要利用数形结合、分类讨论、绝对值不等式的放缩等数学思想，对考生的综合知识能力要就求较高，成为考生之间拉分的重要题型之一。今天只对与函数、不等式结合的绝对值问题的几道例题略作分析，供同学们思考。一、知识储备
2、：（1）绝对值概念、绝对值的非负性、几何意义、绝对值的函数图象等。（2）各类绝对值不等式的解法。（1）；（2）；（3）；(4)．（3）绝对值三角不等式：，及其左右两个等号各自成立的条件。二、例题：例1、已知函数，，当时，有。(1)证明：(2)证明：当时，，例2、如果对于函数的定义域内的任意，都有成立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”．（II）若函数是闭区间上的“平缓函数”，且．证明：对任意的都有。17例3、（2012浙江理22）已知，函数.(Ⅰ)证明:当时,(ⅰ)函数的最大值为;(ⅱ)。例4、（2012
3、陕西理22）设函数(II)设,若对任意,有,求的取值范围;变题：（连云港市2012－2013）已知函数，其中ÎR．(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)若对任意的x1，x2Î[-1，1]，都有，求实数的取值范围；(3)求函数的零点个数．17三、考题精选：1.求的最小值为___________2.若存在实数使成立,则实数的取值范围是___________.3.若不等式的解集为,则实数__________.4.在实数范围内，不等式的解集为___________。5.不等式的解集为______________
4、____.6.在区间上满足不等式的解有且只有一个，则实数的取值范围为7.已知为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则___。8．若函数,则对于不同的实数,则函数的单调区间个数不可能是()A.1个B.2个C.3个D.5个9．设函数满足，,且当,.又函数,则函数在上的零点个数为（ ）A．5B．6C．7D．810.函数在区间内的图象是（）11．的图象与的图象（且）交于两点（2,5），（8,3），则的值是()A．7B．8C．10D．1312.设函数的图象关于直线对称，则的值为（）(A)3(B)2(C)1(D
5、)-113.设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（）A.B.C.D.14．已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．（2，4）15．若函数，则函数的零点个数为（）A．4个B．5个C．6个D．7个16．设函数满足对任意的，且。已知当时，有，则的值为。17．设，，求证：1718．设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值19．已知函数，若，求证：当时，有20．已知：，。（1）、、中至少有一个不小于（2）若的最大值为M，求证：。（3）若时，求的表达式。21．已知函数(I)求f(x
6、)的单调区间；(II)对任意的，恒有，求正实数的取值范围.22．已知函数.（1）若a=1，求函数在区间的最大值;（2）求函数的单调区间；（3）若恒成立，求的取值范围．23．设函数（，）。⑴若，求在上的最大值和最小值；⑵若对任意，都有，求的取值范围；⑶若在上的最大值为，求的值。24．已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数单调区间；（3）若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.1、解：由函数,且对任意的，，17有：，，即。由，得同理：故当时，有。此时，，，所以有。，当时，故有。例2、（1）
7、解：对于任意，有，∴，∴．∴．∴函数是“平缓函数”．（2）证明：当时，由已知得。当
8、时，，不妨设，其中，那么∵，∴∴综上，对任意的都有成立。例3、【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.(Ⅰ)(ⅰ).17当b≤0时,>0在0≤x≤1上恒成立,此时的最大值为:=
9、2a-b
10、﹢a;当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,此时的最大值为:=
11、2a-b
12、﹢a;综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值为
13、2a-b
14、﹢a;(ⅱ)要证+
15、2a-b
16、﹢a≥0,即证=﹣≤
17、2a-b
18、﹢a.亦
19、即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)
20、2a-b
21、﹢a,∵,∴令.当b≤0时,<0在0≤x≤1上恒成立,此时的最大值为:=
22、2a-b
23、﹢a;当b>0时,在0≤x≤1上的正负性不能判断,≤
24、2a-b
25、﹢a;综上所述:函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)
26、2a-b
27、﹢a.即+
28、2a-b
29、﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数在0≤x≤1上的最大值为
30、2a-b
31、﹢a,且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣
