（浙江专用）高考数学第五章平面向量、复数2第2讲平面向量基本定理及坐标表示教学案.docx

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1、第2讲　平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

2、a

3、＝．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即

4、为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

5、

6、＝．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．[提醒]　当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　)(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2

7、，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√[教材衍化]1．(必修4P99例8改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)A．(2，2)　　　　　　　B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1)D．(2，2)或(3，1)解析：选D.由题意得＝或＝，＝(3，－3)．设P(x，y)，则＝(x－1，y－3)，当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3

8、)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)．故选D.2．(必修4P97例5改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．解析：设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得答案：(1，5)3．(必修4P119A组T9改编)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________．解析：由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，

9、3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－.答案：－[易错纠偏](1)忽视基底中基向量不共线致错；(2)弄不清单位向量反向的含义出错；(3)不正确运用平面向量基本定理出错．1．给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝，c＝(－1，1)．在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.答案：22．已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量反向的单位向量为________．解析：由已知得＝(12，－5)，所以

10、

11、

12、＝13，因此与反向的单位向量为－＝.答案：3.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．解析：因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.答案：　　　　　　平面向量基本定理及其应用(1)已知平行四边形ABCD中，点E，F满足＝2，＝3，则＝________(用，表示)．(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．【解析】　(1)如图所示，＝＝(＋)，＝＝(－)，所

13、以＝＋＋＝－(＋)＋＋(－)＝－＋.(2)因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，所以2＝.即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.所以＝－＝λ－＝λ－＝＋，又＝t＝t(－)＝t＝－t.故解得故t的值是.【答案】　(1)－＋　(2)1．(变问法)在本例(2)中，试用向量，表示.解：因为＝＋，所以3＝2＋，即2－2＝－，2＝，所以＝，＝－＝－.2．(变问法)在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？解：由本例(2)的解析＝＋及λ＝，＝2知，＝λ(－)＋＝＋(1－λ)＝λ＋(1－λ)＝.因此点M是AQ的中点．

14、平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示