《点集拓扑学》第5章 §5.3 Lindeloff空间.doc

《《点集拓扑学》第5章 §5.3 Lindeloff空间.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§5.3　Lindeloff空间　　本节重点:　　掌握Lindeloff空间的定义；　　掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；　　掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．　　我们先引进一些术语．　　定义5.3.1　设A*是一个集族，B是一个集合．如果则称集族A*是集合B的一个覆盖，并且当A*是可数族或有限族时，分别称集族A*是集合B的一个可数覆盖或有限覆盖．　　设集族A是集合B的一个覆盖．如果集族A的一个子族也是集合B的覆盖，则称集族是覆盖A（关于集合B）的一个子覆盖．　　设X是一个拓扑空间．如果由X中开（闭）子集构成的集族A是X的

2、子集B的一个覆盖，则称集族A是集合B的一个开（闭）覆盖．　　在数学分析中读者所熟知的Heine－Borel定理告诉我们：实数空间R的子集A是一个有界闭集当且仅当A的每一个开覆盖都有有限子覆盖．因而具有“每一个开覆盖都有有限子覆盖”的拓扑空间自有其重要性．对于这类拓扑空间我们将要在第七章中称之为“紧致空间”并且用整章的篇幅加以讨论．但是另一方面，正如所知，连实数空间本身都不能包容在这类拓扑空间之中．这使我们有必要放松一点限制．　　定义5.3.2　设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间X是一个Lindeloff空间．　　包含着不可数多个点的离散空间不是一个L

3、indeloff空间．这是因为这个拓扑空间中的所有单点子集构成它的一个开覆盖，这个开覆盖没有任何可数子覆盖．　　定理5.3.l[Lindeloff定理]　任何一个满足第二可数性公理的空间都是Lindeloff空间．　　证明　设拓扑空间X满足第二可数性公理，B是它的一个可数基．　　设A是X的一个开覆盖(注意,证这类问题的开头)．对于每一个A∈A，由于A是一个开集，所以存在，使得AB令由于是B的一个子族，所以是一个可数族．并且　　这就是说，也是X的一个覆盖．如果B∈，则存在A∈A使得B∈，因此BA．于是对于每一个B∈；我们可以选定某一个记，它是A的一个子族，并且　　　　所以是A的一个子覆盖．

4、此外由于是可数的，所以也是可数的．于是开覆盖A有一个可数子覆盖．这证明X是一个Lindefoff空间．　　推论5.3.2　满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．　　特别，n维欧氏空间的每一个子空间都是Lindeloff空间．　　例5.3.1，定理5.3.1和推论5.3.2的逆命题都不成立．　　考虑包含着不可数多个点的可数补空间X．例5.1.1中已经指出它不满足第一可数性公理，所以它也不满足第二可数性公理．　　以下证明它是一个Lindeloff空间．设A是它的一个开覆盖．任意在A中取定一个非空集合A．对于每一个x∈在A中选取一个是一个可数集，所以A的子族也是可数

5、的，易见它也覆盖X．因此，包含着不可数多个点的可数补空间是定理5.3.1的逆命题不成立的例子．　　也不难证明X的每一个子空间都是Lindefoff空间．（请读者自补证明）因此，包含着不可数多个点的可数补空间也是推论5.3.2的逆命题不成立的例子．　　定理5.3.3　每一个Lindeloff的度量空间都满足第二可数性公理．　　证明　设（X，d）是一个Lindeloff的度量空间．　　对于每一个k∈，集族={B（x，1/k）

6、x∈X}是X的一个开覆盖．由于X是一个Lindeloff空间，所以有一个可数子覆盖，设为,从而开集族是一个可数族．以下证明它是X的一个基．　　x∈X和x的任何一个邻域U

7、，令k为任何一个大于2/ε的正数．由于是X的一个覆盖，　　　　　　根据定理2.6.2可见B是X的一个基．因此X满足第二可数性公理．　　例5.3.2　Lindeloff空间的子空间可以不是Lindeloff空间的例子．　　设X是一个不可数集，z∈X．令=X-{z}，　　T是一个可数集}　　容易验证T是X的一个拓扑．（请读者自己验证．）　　拓扑空间（X，T)是一个Lindeloff空间．因为如果A是X的一个开覆盖，则存在A∈A使得z∈A．于是是一个可数集．对于每一个x∈，选取∈A使得x∈．易见是A的一个可数子覆盖．　　另外，容易验证T．这也就是说作为X的子空间是一个包含着不可数多个点的离散空

8、间．所以不是一个Lindeloff空间．　　此外，两个Lindeloff空间的积空间也可以不是Lindeloff空间．有关的例子可见习题第4题．　　尽管Lindeloff性质不可遗传，但它对于闭子空间却是可遗传的．我们证明：　　定理5.3.4　Lindeloff空间的每一个闭子空间都是Lindeloff空间．　　证明　设Y是Lindeloff空间X的一个闭子空间，A是子空间Y的一个开覆盖．则对于每一个A∈A存在X中的一个开集使得∩Y