资源描述：
《函数凸性引伸及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第31卷第3期温州大学学报自然科学版2010年6月VOI31,No3Joumalof研/enzhou枷iversityNaturalSeieneesJun,2010函数凸性引伸及应用李群芳,赵焕光(温州大学数学与信息科学学院,浙江温州325035)摘要:利用几何平均凸函数对数凸函数几何凸函数的性质建立若干新的不等式,使得某些国际数学奥林匹克竞赛题与数学通报问题作为其特例得以解决.关键词:函数凸性;几何平均凸函数;对数凸函数;几何凸函数;不等式中图分类号:0122.3文献标志码:A文章编号:1674一3563(2010)03~(拟1一06DOI:
2、10.3875lj.issn.1674一3563.20lo.o3.0()l本文的poF文件可以从xuebao.wzu.edu.en获得凸函数是一类性质独特的函数.凸函数的性质在不等式证明中有广泛应用[l].文献[2]应用凸函数及其性质简单地证明了一些不等式;文献!3]在凸函数的前提下,进一步研究了对数凸函数,并给出了它在不等式研究中的应用;文献[41给出了几何凸函数的一些性质,建立了关于几何凸函数的琴生型不等式,并给出了其在证明较难不等式中的简便应用.但在以上研究中,不等式的证明都要用到构造函数,这是比较困难的.本文利用算术平均数与几何平均数的不同组合
3、方式引申出几何平均凸函数[31对数凸函数[4l与几何凸函数[5]等概念,通过变量代换的途径直接从通常的凸函数的性质中获得这些引伸出来的函数的性质,建立了若干新的不等式,使得某些不等式证明问题(以一些国际数学奥林匹克竞赛题与数学通报问题为例)作为其特例得以解决,从而避免了构造函数这个难题.1预备知识为应用方便,首先介绍相关概念.定义11)设f(x)是定义在区间I(cR)上的函数.若血,凡∀I,t∀(0,1),总有f(txl+(l一t)x:)#了(xl)+(1一t)f(x:),则称f为I上的凸函数(不等号反向称其为凹函数)[l];2)设f(x)是定义在区
4、间I(cR+)上的函数.若狱,凡∀I,t∀(0,1),总有f(对x1-#)#扩(气)+(1一#)f(凡),则称f为I上的凡何平均凸函数(不等号反向称其为几何平均凹函数)l3];3)设f(x)是定义在区间I(cR)上的正值函数.若狱,凡∀I,t∀(0,1),总有f(tx,+(l一t)xZ)#f(x,)#f(xZ)#一#,则称f为I上的对数凸函数(不等号反向称其为对数凹函数)[4];收稿日期:2(X)9一12一02作者简介:李群芳(1987一),女,江西上饶人,硕士研究生,研究方向:应用分析2温州大学学报自然科学版(2010)第31卷第3期4)设f(x)
5、是定义在区间I(二R十)上的正值函数.若Vxl,凡∀I,t∀(0,1),总有f(x{x爹#)#f(x,)#f(xZ)∃一#,则称f为I上的几何凸函数(不等号反向称其为几何凹函数)[5].引理11)设f(x)是定义在区间I(cR+)上的函数.f(x)是I上的几何平均凸函数,当且仅当F(x)二f(ex)是某区间J(cR,若I=(a,b),则J二(Ina,inb))上的凸函数;2)设f(x)是定义在区间I(cR)上的函数.f(x)是I上的对数凸函数,当且仅当F(x)=inf(x)是I上的凸函数;3)设f(x)是定义在区间I(cR十)上的正值函数.若f(x)是
6、I上的几何凸函数,当且仅当F(x)=inf(e尤)是某区间J(cR)上的凸函数.引理1的证明直接由定义1可得.进一步,由定义1及数学归纳法可建立各种凸性意义下的Jensen不等式[l一5].在f尸(x)存在的情形下,还可以由f矛(x)在I上的非负性确定函数了(x)的凸性川.2几何平均凸性的应用定理11)若p之1,且x#任R+(i=1,2,%,n),则青睿(卜)#::#贵各xi)∃全(#币获厂万);;2)若0#尸<1,且x#任[0,1](i=l,2,%,n),则:1贵客一)∃青各(1一,∃&&ha,∋∃3)若一l<尸<0,且x#任[0,1](
7、i=l,2,%,n),则(1去睿一)夕去各(1一,∃#(+#ha,&∃4)若p#一1,且x#任[l,枷),则贵各(卜)#二(卜一)二(#去息一)∃进一步,当且仅当所有自变量取值相等时等号成立.证明:设f(x)二(1+x)夕,则f∃(x)夕(1+x)夕一,,f尸(x)夕(尸一1)(l+x)p一2.由凸函数的Jensen不等式l1]及函数的单调性可知,l)成立,且2)与3)的第一个不等式也成立;又设f(x)=(1+ex)夕,则f∃(x)=夕e丈(1+e∃)∃一#,李群芳等:函数凸性引伸及应用f尸(x)=夕e#(l+e#)夕一#+户(夕一)(1+e
8、工)尸一Ze∃x=(l+e义)∋一,尸e工(l+刀e尤).由几何平均凸函数的Jensen不等式
