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1、二○一三年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷(2013年6月23日9:00—11:30)题号填空题解答题总成绩1112131415得分评卷人复核人考生注意:1.本试卷满分120分,第一题共10小题,满分60。2.用蓝色(或黑色)钢笔、签字笔,圆珠笔作答。3.解题书写不要超过装订线。4.不能使用计算器。一、填空题(本大题共10小题,第小题6分,共60分)1.已知集合A={x
2、
3、x-2
4、5、x2-2x-3<0},若BA,则实数a的取值范围是__________________.2.某程序框图如6、图所示,则输出的S=_____________.3.已知四棱锥P—ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P—ABCD的四个侧面面积的最大值是_____________.4.已知函数f(x)对任意xR,才有,且f(1)=-2,f(2013)=___________.5.7个花色不同的小球放到编号分别为1、2、3的3个盒子内,要求各盒子子内的小球数不小于其编号数,则不同的方法种数为_________________.6.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且ac+c2=b2-a2,若△ABC7、最在边的边长为,且sinC=2sinA,则△ABC最小边的边长为___________.7.把一根长为7米的铁丝截下两段(也可以直接截成两段),这两段的长度之差不超过1米,分别以这两段铁丝围成两个圆,则这两个圆面积之各的最大值为_________平方米.8.如图,正三棱锥O—ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2,E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别交于A1、B1、C1,已知OA1=3/2,则二面角O—A1B1—C1的下切值为_8、__________.9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120º,过弦AB的中点M作抛物线的准线MN,垂中为N,则的最大值为_______.10.设[x]表示不超过x的最大整数,则_______________________.二、解答题(本大题共5小题,每小题12分,共60分)11.(本题满分12分)设f(x)是定义在[1,∞)上的增函数,且关于x的不等式f(k2-cos2x)≤f(k2+cos2x)恒成立,求数k的取值范围。12.(本题满9、分12分)已知椭圆E:(a>b>0)的一个焦点为,且过点,设椭圆E的上下顶点分别为A1、A2,P是椭圆上异于A1、A2的任一点,直线PA1、PA2分别交x轴于点M、N,若直线OT与过点M、N的圆G相切,切点为T。证明:线段OT的长为定值,并求出该定值。13.(本题满分12分)已知函数,,其中(1)若函数有极值1,求a的值;(2)若函数在区间(0,1)上为增函数,求a的取值范围;(3)证明:.14.(本题满分12分)已知Sn是数列的前n项和,且,(1)求an与an-1之间的关系式;(2)求使得数列{an10、}这递增数列的所有a0的取值。
5、x2-2x-3<0},若BA,则实数a的取值范围是__________________.2.某程序框图如
6、图所示,则输出的S=_____________.3.已知四棱锥P—ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P—ABCD的四个侧面面积的最大值是_____________.4.已知函数f(x)对任意xR,才有,且f(1)=-2,f(2013)=___________.5.7个花色不同的小球放到编号分别为1、2、3的3个盒子内,要求各盒子子内的小球数不小于其编号数,则不同的方法种数为_________________.6.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,且ac+c2=b2-a2,若△ABC
7、最在边的边长为,且sinC=2sinA,则△ABC最小边的边长为___________.7.把一根长为7米的铁丝截下两段(也可以直接截成两段),这两段的长度之差不超过1米,分别以这两段铁丝围成两个圆,则这两个圆面积之各的最大值为_________平方米.8.如图,正三棱锥O—ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2,E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别交于A1、B1、C1,已知OA1=3/2,则二面角O—A1B1—C1的下切值为_
8、__________.9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A、B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120º,过弦AB的中点M作抛物线的准线MN,垂中为N,则的最大值为_______.10.设[x]表示不超过x的最大整数,则_______________________.二、解答题(本大题共5小题,每小题12分,共60分)11.(本题满分12分)设f(x)是定义在[1,∞)上的增函数,且关于x的不等式f(k2-cos2x)≤f(k2+cos2x)恒成立,求数k的取值范围。12.(本题满
9、分12分)已知椭圆E:(a>b>0)的一个焦点为,且过点,设椭圆E的上下顶点分别为A1、A2,P是椭圆上异于A1、A2的任一点,直线PA1、PA2分别交x轴于点M、N,若直线OT与过点M、N的圆G相切,切点为T。证明:线段OT的长为定值,并求出该定值。13.(本题满分12分)已知函数,,其中(1)若函数有极值1,求a的值;(2)若函数在区间(0,1)上为增函数,求a的取值范围;(3)证明:.14.(本题满分12分)已知Sn是数列的前n项和,且,(1)求an与an-1之间的关系式;(2)求使得数列{an
10、}这递增数列的所有a0的取值。
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