子集空间下的邻域扩张-论文.pdf

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1、逻辑学研究2014年第2期，20-38文章编号：1674—3202(2014)一02-0020—19子集空间下的邻域扩张木王轶浙江大学语言与认知研究中心ynw@zju．edu．Crl摘要：子集空间逻辑是刻画知识及其在证据支持度提升时发生变化的一种具有拓扑逻辑风格的简单架构的模态认知逻辑。与关系语义学不同，子集空间逻辑的语义学借助“邻域”而非“可通达关系”来表达不确定性区间。邻域的缩小体现不确定性的减少；在认知语境下，这种不确定性的减少就表现为知识的增长。子集空间逻辑主要刻画邻域的缩小。与邻域缩小相对应的邻域扩张同

2、样具有理论研究的价值，然而却没有在子集空间逻辑中得到刻画。本文在子集空问逻辑的框架下探讨邻域的扩张。主要成果是给出带有邻域扩张算子的子集空间逻辑，为其引入关系语义学和公理系统，并证明该系统的完全性。关键词：子集空间逻辑；知识更新；认知逻辑；逐步构造法中图分类号：BS1文献标识码：A1引言子集空间逻辑(SubsetSpaceLogic)的研究始于摩斯(L．S．Moss)和帕里克(R．Parikh)。(【19】)其初始研究动机是找到一个相对比较简单的架构用以刻画认知努力，该架构最终采用了拓扑逻辑的风格。然而，与模态逻

3、辑的经典拓扑语义学([16，17])不同的是，子集空间逻辑所使用的“拓扑语义学”并非将一个点(通常亦称为状态或世界)作为一个完全信息状态(即任意公式在该状态下的真假是确定的)，而是使用由一个点和包含该点在内的一个认知域所组成的有序对来实现。认知域并非一成不变：当主体通过认知努力(或者是获得新的证据)从而引起知识更新时，认知域就会变窄(说明了主体掌握更多的确定信息)。“知道”被解释为西在当前认知域中所有的点上为真，因此认知努力可以引发知识状况的变化。子集空间逻辑的语义学简称为子集收稿日期：2014—01．22基金项

4、目：国家社科基金重大项目(批准号：1l&ZD088)。王犊子集空间下的邻域扩张21语义学。子集语义学所使用的语义模型称为子集模型，它是与拓扑模型非常相似但外延更广的概念。对子集空间逻辑的后续研究的一个方面是在子集模型上添加额外的条件，尤其是考虑如拓扑模型这样一类特殊子集模型的情形；关于这个方面的相关成果可以参见[6，8，9]。[1o_13，22]则关注子集空间逻辑的混合语言扩充，在语言中设置子集模型中的点乃至认知域的专名。子集空间逻辑的多主体扩充多年来一直受到关注，[4，13，14，27]等都曾尝试为此给出解决方

5、案，但真正如经典单主体认知逻辑到多主体认知逻辑的自然扩充(参见[7，18])见于[25】。除此以外，最近出现的文章[2，26]已经开始探讨子集空间逻辑的动态扩充。这里采用改编自[20]的一个例子以展示子集空间逻辑的直观思想。一位交警手持雷达测速设备以监测高速公路上的超速行为。测速雷达的精确度为士3千米／时，且高速公路限速120千米／时。假设现在有一辆汽车驶过，而交警手上的测速雷达显示车速为122千米／时。那么汽车是否确实超速了?对于这点，该交警并不确知。假如测速雷达的精确度为4-1千米／时，并且读数仍为122千米

6、／时的话，那么交警就知道汽车超速了。在子集空间逻辑中，如果以P表示“汽车超速”，则公式p八日p刚好刻画了上述情形。该公式的第一个合取支是说交警不知道汽车超速，而第二个合取支则表示交警在证据支持度提升时有可能知道汽车超速。子集空间逻辑的语言是在命题逻辑的语言基础上扩充以两个一元模态算子：和日。上例中证据支持度的提升是知识增进的途径。有些时候证据支持度会下降，从而引发知识的退化。比如上例中如果交警的手持雷达损坏，原有证据可能不复存在。研究证据支持度下降时的认知状况，尤其是极端情形(最坏情形)下的认知状况，具有现实的意

7、义。本文引入一个模态算子田。公式田将用于表示“西在证据支持度下降的任意情况下都成立”。在前面的例子中，公式一田Kp显然成立。虽然用子集空间逻辑这一框架来刻画知识增进相当顺理成章，其形式语义也很容易给出，但跟经典子集空间逻辑一样，证明新逻辑的公理系统的完全性并非易事。本文采用[23-25]中提出的方法，首先为新逻辑引入一个二维关系语义学，然后使用逐步构造法证明在关系语义学下的完全性，最后将完全性结论转移到子集语义学。这是文章的主要成果。本文的结构安排如下：下一节介绍经典的子集空间逻辑；第3节讨论邻域的扩张，主要探讨

8、将经典子集空间逻辑中的邻域收缩算子替换为邻域扩张算子而得到的逻辑，以及该逻辑的可靠且完全的公理系统；文章最后一节讨论王轶子集空间下的邻域扩张23将被视为认知域或证据。有序对(X，0)称为的一个认知情境(简称情境)，如果满足X∈0。上文对和日两个算子的直观解读中提到的隋形”就将通过认知情境来刻画。的所有认知情境的集合记为ES(X)。一个点空间(或点模型)是由一个空间(或模型