集合套拓扑第二邻域的定义及性质-论文.pdf

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1、V01．13No．4第13卷第4期潍坊学院学报2013年8月JournalofWeifangUniversityAug·2013集合套拓扑第二邻域的定义及性质。王利香(潍坊学院，山东潍坊261061)摘要：本文在文献[3]的基础上，通过给出集合套拓扑空间中给出一种新的邻域一第二邻域的定义，并给出了它的一些性质，证明了由邻域系，基与子基可分男I】确定X上的一个唯一的集合套拓扑并且这种拓扑确定的邻域系与原来的邻域系一致。关键词：集合套；拓扑；模糊点；邻域；基中图分类号：0189．2文献标识码：A文章编号：1671—4288(2013)04一0067

2、一03自从CLChangy[13引入模糊拓扑的概念以来，特别是刘应明等嗍引入“重域’’的概念以来模糊拓扑得到了系统的发展。王国俊应用分子，远域和序同态概念建立了L一模糊拓扑的理论。罗承忠曾引入强邻域的概念，并用重邻域和重域研究了生成模糊拓扑。本文在文献‘31的基础上，给出了集合套拓扑第二邻域的定义及性质。1第二邻域的定义及性质x为一个集合，“(X)={HIH：[o，1]一P(X)为一个集合套)。令HE“(X)。若H(A)三X，VA∈[o，1]，则仍用X记H；若H00=一O，VA∈[o，1]则仍然用力记H。定义1若H(口)=『{Oz,’a’>口≤

3、2A，则称H为x上的一个模糊点，记作而。设H∈托(X)，z。为X上一个模糊点，则H—U{z。lz。∈H)，如果z∈H(A)则称z。属于H。记作z^EH。定义2(1)z。EH，当且仅当zEH(A)(2)而∈，H当且仅当z。硭H‘性质1．27^∈fHC=≥x1一^EH证明而∈JH9而链fH‘‘Ox∈(H‘)(A)一(H(1一A))‘性质2(1)而EJUH。甘3t∈T，z^∈iH。(2)而EJnH。甘VtET，．27^EJH。证明(1)x。EjUH。甘zEUH。(1一A)甘了tET，z∈H：(1一A)甘]tET，z1一^EH，∞3tET，z^EjH‘

4、(2)z】EnfH。{0x1一^EnH。∞Vt∈T，X∈H。(1一A)甘VtET，z卜^∈H。∞Vt∈T，而∈IH。甘z∈H(1一A)铮z卜^∈H性质3z】∈IH‘COxl一^EH证明而∈H‘臼z∈(H‘)(2)cox仨(H(1一A)‘甘z。一。∈H定义3设J∈“(X)，若(1)XEJ，OEJ；(2)H。，H：E．，净H1nH2∈J(3)对任一指标集T，VtET，H：∈J净UH：∈J*收稿日期：2012—10—20基金项目：潍坊市科技项目(20121314)作者简介：王利香(1978一)，女，山东诸城人，潍坊学院学与信息科学学院讲师。研究向：模

5、糊学。一67—潍坊学院学报2013年8月注l设，为X上一个集合套拓扑，对A∈[o，1]，令J(A)={H(A)iH∈．厂)则．，(A)为X上一个拓扑。当任取H∈J，VJ=【∈Eo，1]，H(A)三HA为X一个子集时，-厂便是x上的一个通常拓扑，所以通常拓扑是集合套拓扑的特例。又令T(H)一UAH(A)，则J={T(H)1H∈．厂}为X上一个模糊拓扑。～A∈Lo，1J反之，若l厂为上X的一个模糊拓扑，令-，(A)={A。IA∈J)，HA(A)=A。)则J={HAA∈-，)为X上的一个集合套拓扑。故集合套拓扑和模糊拓扑又有密切联系。则称-，为x的一

6、个集合套拓扑，而称(X，J)为一个集合套拓扑空间。设X为一个集合，“(X)={H1H：[o，1]一p(X)为一个集合套)。令H∈“(X)。若H(A)一X，VAEEo，1]，则仍用x记H；若H(A)一D，VA∈Eo，1]则仍然用仍记H。定义4设(X，J)为集合套拓扑空间，而为一个模糊点，NE材(z)若存在G∈，，使而∈。G∈N，则称N为z。的一个邻域，用N。(而)记勘的所有邻域的集合。定理1H∈．，舒V而，若毛∈IH则H∈Nl(而)。定理2(1)对每一个而，NI(而)≠j5，若H∈NI(而)，则而∈1H(2)A∈NI(而)且A∈B∈X则B∈NI(

7、而)(3)H1，Hz∈NI(z^)则H1nH2∈N1(z^)(4)H∈NI(而)则存在GENI(而)，满足条件(i)G∈H，(ii)对任意Y。∈lG有G∈NI(y。)。证明(1)对于任何乃∈。X，由于XEJ且X。∈。X，所以X∈N。(z。)，因此N1(z。)≠p，此处根据模糊点而的邻域定义可知，任取H∈N1(如)有AEIH。(2)设A∈Nl(z。)且A∈B∈X存在Ao∈J，使而E1A。∈A∈B，则B∈NI(而)。(3)设H1，Hz∈NI(而)，则存在开集Hl。，H20，使得而∈IH10‘H，，而∈lH2。至H2所以而∈lHIonH2。∈H1nH

8、2，由于HI。nH2。∈J，故H1nHz∈NI(≈)。(4)设H∈N。(而)，则存在G∈J，使而EG∈H，则G满足(1)根据定理1，它也满足(2)。定