资源描述：
《离散数学课件 第三章 集合论-2nd》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章集合论大连理工大学软件学院陈志奎教授办公室：综合楼411，Tel：87571525实验室：教学楼A318/323，Tel：87571620/24Mobile:13478461921Email:zkchen@dlut.edu.cnzkchen00@hotmail.com1/433.2集合的运算一、相交运算定义：由集合A和B的所有公共元素所组成的集合，称为集合A和B的交集。记作AIBAIBxxAxB={
2、∈∧∈}例如：设A={a,b,c,d},B={d,f,a},C={e,f,g}则AIBad={,}BCI={}fABAC
3、I=∅可以看出AIIBAABB⊆⊆,AIB2/43一、相交运算设，AB⊆⊆求证ACBCII.证明：若xA∈则x∈B，对任一xAC∈I，则x∈A且xC∈，即x∈B且x∈C，故xBC∈I，因此。AIICBC⊆集合的交运算具有如下性质：()aAAAI=AB()bAI∅=∅()cAEAI=()dABBAII=AIB()(eABCABCII)=II()3/43一、相交运算试证明()AIIBCABC=II().证明：(){ABCxxABxCII=
4、∈∧I∈}={
5、xxAxBxC∈∧∈∧∈}=∈{
6、xxAxBxC∧(∈∧∈)}=∈{
7、xx
8、AxBC∧∈I)}=∈{
9、xxAxBC∧∈I)}类推至多个集合的情况，集合的交运算仍满足结合律。假设有n个集合A,A,…A，那么这些集合的交集可表12n示为：PAA=III⋅⋅⋅A12nn=IAii=14/43二、联合运算（集合的并）定义：由集合A和B的所有元素组成的集合称为A和B的并集，记作AUBABxxAxBU={
10、∈∨∈}例如设A={a,b,c},B={c,d,f},C={b,e}那么AUB={,,,,}abcdfACU={,,,}abceABBUCb={,,,,}cdef可以看出A⊆⊆ABBABUU,AUB5/43二
11、、集合的并集合的并运算具有如下性质：()aAAAU=()bAEEU=()cAU∅=A()dABBAUU=()(eABCABCUU)=UU()注意：假设有n个集合A,A,…A，那么这些集合12n的并集可表示为：WAA=UUKUA12nn=UAii=16/43二、集合的并例1：假设ABCDACBD⊆⊆,,则UU⊆.证明：对任意xACxAxC∈∈U，有∨∈，若，xAABxBxBD∈⊆∈∈由可得，故U；若，xC∈⊆∈∈由可CD得，xD故xBDU。因此，ACBDUU⊆7/43二、集合的并定理3.21−：设ABC,,为三个集合，那么(a
12、ABC)()IU=()ABIUI()AC(bABC)()UI=()ABUIU()AC证明：对于任意的x，若xABC∈IU()=∈∧∈xAxBCU=∈∧∈∨∈xAxBxC()=∈∧∈∨∈∧∈()xAxBxAxC()=∈xABxACII∨∈=∈xABAC()IUI()由x的任意性可知(a)成立。同理可以证明(b)。8/43二、集合的并定理3.22−：设AB,为任意两个集合，那么()aAABAUI()=()bAABAIU()=证明：(aAABAEAB)()UI=()IUI()=AEBIU()=AEI=A证明：(bAABAAAB)(
13、)IU=()UIU()=AABUI()=A9/43二、集合的并定理3.23−⊆：ABA，当且仅当UIB=B或AB=A证明：(1)若AB⊆∈，对任意xA，必有xB∈；对任意xABxAxBxB∈U，则∈∈∈或，即，所以ABBU⊆。又BAB⊆=UU，故得到ABB。(2)若ABBUU=⊆⊆,,因为AABAB故.同理可证明AB⊆=,.当且仅当ABAI10/43关于交集、并集的例子老师讲完交集、并集的概念之后，提问学生：（1）设A={x│x是参加百米赛跑的同学}，B={x│x是参加跳高比赛的同学}，求A∩B．（2）设A={x│x是红星农
14、场的汽车}，B={x│x是红星农场的拖拉机}，求A∪B．一学生答道：（1）中A∩B={x│x是参加百米障碍赛的同学}．（2）中A∪B={x│x是红星农场的联合收割机}．11/43三、差分运算（集合的补）定义：设A,B是两个集合，所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A和B的差集差集或B对A的相相对补集对补集。记作A-BA−BxxAxB=∈{
15、∧∉}绝对补集：B对E的相对补集叫做绝对补集，简称补集，记作~BA~AABA-B12/43三、差分运算（集合的补）例：设A是小于10的素数集和，B是奇数集合，求A-B。解：A={1,
16、2,3,5,7}B={1,3,5,7,9}A-B={2}例：设U=I(I是整数集合)AiiIi={
17、∈>,0}解：UAiiIi−=∈≤{
18、,0}AU−=∅13/43三、差分运算（集合的补）集合的差分运算还具有如下性质：()()aA::=A()bE:=∅()cAU~AE=~AA()dAI~A
