数学物理方程--- 6 特征线法

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1、本章中心内容第6章特征线法特征线法求解一阶偏微分方程以及一维波动方程在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么.--毕达哥拉斯Methodofcharacteristics一种基于特征理论的求解双曲型偏微分方程组的似方法。它产生较早，19世纪末已经有效地为人们所用。电子计算机出现以后，又得到了进一步的发展，在一维不定常流和二维定常流等问题中得到了广泛的用。特征线法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其实质是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使其求解称为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是求解非线性方程的一种有

2、效方法。一、特征线法结合一些具体的定解问题的求解，说明特征线方法的基本思想和求解方法。第一节、一阶偏微分方程特征线法例1求解线性方法Cauchy问题解方程（1）的左端是的一阶偏导数的线性组合。特征线方法的基本思想就是将其转化为关于t的全导数。在这条直线上，即，在这个直线上，上述定解问题转化为解之，得又，则此解法关键之处是找到直线，偏微分方程转化为常微分方程。直线称为一阶偏微分方程（1）的特征线特征线是方程的解，方程称为（1）的特征方程，其解就是（1）的特征线。沿一阶偏微分方程的特征线将方程化为常微分方程，便是特征线法的基本思想。对定解问题（1）

3、（2）也可以用变量代换方法求解。具体做法是，做变换则即代入有所以即对两边积分，可得其中，为一个可微函数。由由方程（2）得即所以定义1考虑下面一阶线性微分方程注1给出例1求解方法的一个几何解释。在该例中，使用了参数其中、和、均为自变量、的函数。方程称为(4)式的特征方程，其积分曲线称为(4)式的特征曲线。c，即为特征线的初始值。当参数在轴滑动时，(3)式的解曲线就织成了(1)式--(2)式的解曲面。为了避免和常数c混淆，下面用变量代替参数c。请记住：变化相当于在轴上滑动。例2求解线性方法柯西问题解方程(6)式的特征方程为而过点的特征线就是下面问题

4、的解解之可得。沿此特征线原定解问题(6)-(7)简化为解出最后，由特征线方程易得该问题的解为常数(8)式中便得(6)式-(7)式的解为将其代入到练习求下列Cauchy问题的解解第一步求特征线。特征线方程的解为第二步化偏微分方程为常微分问题并求解。令则则这个常微分方程初值问题的解为又所以下面考虑一阶拟线性方程，即一阶导数的系数与未知函数一阶拟线性方程柯西问题的一般形式为有关。方程(9)式有一个很直观的几何解释，在的法对曲面上任一点三维空间中，(9)式的解可视为该空间中的一曲面的曲面在该点向量为而在曲面上，过点的曲线在点的切向量为。显然，向量与在点

5、相互垂直。如记向量则方程(9)式恰好表示向量与在点处相互垂直。因此，在曲面第二节、一维波动方程的特征线法考虑弦振动方程的Cauchy问题这里是无界问题，可以用积分变换求解，下用特征线求解。特征线族即可得（3）称为特征方程做变量代换则则（1）式变为积分此方程，可得其中f、g是两个任意函数，将变量还原成x和t得由方程的（2）式，可得对上面第二式两边积分联立（A）（B）两式，可得所以例2解例1解