特征方程法介绍

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1、特征方程法————攻克递推数列通项公式【内容摘要】用特征方程法求数列通项公式并非竞赛的专利，普通的学生也可以掌握，利用本文的三个定理，可以快捷的求出2008年高考数学（广东卷陕西卷）的数列压轴题的通项公式。【关键词】特征方程递推数列通项公式【正文】2008年高考广东的文科数学和理科数学都是以数列作为压轴题。从得分上看，文科数学的第21题数列题的平均分是0.14分，共有26万多考生得0分，2位考生得满分；理科数学的第21题数列题的平均分是0.71，共有16万多位考生得0分，103位考生得满分。这两个

2、压轴题的关键就是通项公式的求解。这两个题通项公式的求解方法很多，用一般的方法需要很强的构造能力，而用数学竞赛中的特征方程法求解是比较快捷的。而且这个方法，普通学生也可以掌握，只需掌握以下三个定理。一、一阶线性递推数列定理1：已知数列的项满足其中,称方程为数列的特征方程，设特征方程的根为，则（1）当时，数列为常数数列；（2）当是以为公比的等比数列。例1．已知数列满足：，，求解：相应特征方程为所以数列是首项为的等比数列.例2．已知数列满足递推关系：其中为虚数单位。当取何值时，数列是常数数列？解：相应特

3、征方程为则特征根要使为常数数列，则必须第4页共4页二、二阶线性递推数列定理2：已知数列的项满足，，称方程，为数列的特征方程。若是特征方程的两个根，则（1）当时，数列的通项为，其中A，B由初始值决定；（2）当时，数列的通项为，其中，由初始值决定。例3．（2008年高考广东卷文科数学第21题）设数列满足，，数列满足是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有（1）求数列和的通项公式；（2）记，求数列的前n项和Sn.解：其中数列的通项公式的求解如下：数列相应的特征方程为，特征根为可设。又由，于是，故例

4、题4.（2008年高考广东卷理科数学第21题）．设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，，求的前项和．解：其中数列的通项公式的求解如下：数列相应的特征方程为，特征根为①当时，可设，由，，第4页共4页得，①当时，可设，由，，得，三、一次分式递推数列定理3：已知数列的项满足：且对于，都有（其中p、q、r、h，且），称方程为数列的特征方程.（1）当特征方程有两个相同的特征根时，（i）若则数列为常数数列（ii）若，则数列为等差数列。（2）当特征方程

5、有两个相异的特征根、时，则数列为等比数列。例题5．（2008年高考陕西卷数学第22题）已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的，，；（Ⅲ）证明：．解：其中数列的通项公式的求解如下：数列相应的特征方程为，特征根为第4页共4页所以数列为等比数列，由，得数列的首项是，所以，可以看出，用特征方程法求特定类型的递推数列的通项公式是非常方便快捷的，对于基础较好的学生，该方法可以是一个很有益的补充。第4页共4页