2015数学建模国赛A题论文.doc

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1、太阳影子定位摘要太阳影子定位技术[1]是解决拍摄视频的地点和时间的重要手段，因此对太阳影子定位技术进行定性与定量的研究具有重要的理论和实际价值。我们建立了直杆的影子长度，北京时间，日期等变量之间的关系模型，并应用模型解决了题目所列的四个问题。对于问题一我们利用空间几何学建立数学模型，确定了(太阳光线与直杆之间的)夹角、直杆和太阳直射点位置之间的关系。进一步地，我们得到了直杆影子长度与直杆、太阳直射点[2]位置（经纬度）之间的关系方程。我们分两种情况进行讨论，一种情况是太阳直射点与直杆同处于南、北半球，另一种情况是太阳直射点与直杆分别处于南、北半

2、球。最后我们由方程和matlab软件作图得到2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。对于问题二我们根据附件一给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法[3]求解非线性方程组[4]，得到杆子的几个可能的位置。对于问题三我们根据附件二和三给出的数据建立了多个关于直杆经度、纬度和日期的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法求解非线性方程组，得到若干个可能的地点和日期。对于问题四我们首先利用图

3、像模拟方法，测得杆子在一些特定时刻的影子的实际长度值，再利用视频给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法求解非线性方程组，得到杆子的几个可能的位置。【关键字】：直杆影子长度，经纬度，非线性方程26一、问题重述太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。本题就是利用物体影子随时间的变化规律来求解拍摄地点与拍摄日期。1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间

4、天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，

5、并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二、问题分析2.1、问题一的分析针对问题一，题目给出直杆高度，北京时间，日期，直杆位置等数据，求解影子长度随时间变化趋势。我们知道，北京时间以及日期26跟太阳直射点的位置密切相关，而我们知道了太阳直射点与杆子的相对位置就能得到形成影子的光线与直杆的夹角，从而求得影子长度，这样就把影子长度与北京时间联系起来。因此，我们建立空间几何数学模型，得到影子长度与直杆、太阳之间相对位置的关系函数，即直杆的影子长度与北京时间的关系函数。最后，我们利用MATLAB软

6、件作图得到3米直杆太阳影子长度的变化曲线，通过对曲线的观察，发现模型与现实情况基本是吻合的，验证了我们所做模型的合理性。2.2、问题二的分析问题二属于给定多组动态相关数据进行求解的问题。解决这类问题一般要分析相关变量之间的关系，建立它们满足的方程，由已知的动态数据求解未知的变量。针对问题二，我们首先利用问题一中得到的关系方程，这个方程联系着北京时间，日期（太阳直射点的经纬度）、直杆位置（直杆经纬度）、直杆影长等几个变量，也就是说如果有一个或多个变量的一组值，通过关系方程能得到另外几个变量的可能值。问题二已经给出了北京时间，日期以及直杆影长求直杆

7、的几个可能位置，我们利用附件一给出的数据创建几个非线性方程组，运用基于matlab的遗传算法解方程组可以得到直杆的几个可能位置。2.3、问题三的分析问题三与问题二一样都是给定一组或者多组动态相关变量求解的问题。解决这类问题一般要分析相关变量之间的关系，建立关系方程，由已知的变量求解未知的变量。问题三与问题二的不同之处在于问题三多了一组未知的变量，我们知道想要解出n个未知数，需要n个方26程。所以，问题三只需新建一个比问题二中方程组的方程数量多一个的方程组就可以了。将相关数据代入方程组并利用matlab进行求解得到若干个可能的地点与日期。2.4、

8、问题四的分析问题四与问题二一样也是给定一组或者多组动态相关数据求解的问题。但是问题四中杆子的影子长度需要我们自己测量。我们运用图像模拟法并进行比例换算