李帮运的《究竟错在哪里》.doc

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1、究竟错在哪里在学习不等式的的性质时，经常会遇到类似这样的一道题：已知函数f(x)=ax2-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f（3）的取值范围.在平时的不等式教学时经常看到学生给出这样的两种不同的解法：解法一：由已知得不等式组②①，根据不等式的性质，①×（-1）+②，得0≤3a≤9,从而得0≤9a≤27③，①×（-4）+②得1≤c≤7④,f(3)=9a-c,③+④×（-1）得-7≤9a-c≤26，即-7≤f(3)≤26;解法二是待定系数法：由已知得不等式组②①，设f(3)=mf(1)+nf(2

2、)=(m+4n)a-(m+n)c,而f(3)=9a-c,所以得到，得，所以，而.并且都觉得自己的解法依据是不等式的相关性质，没有错误，学生各执一词.为什么两种解法的结果会出现不一样的情况呢？如果仅仅只在学习了不等式的性质的情形下，我们给学生解释的原因是解法一的过程是不可逆的，因为a,c并不是相互独立的关系，而是由不等式组决定的相互制约的关系.a取最大（最小）值时,c并不能同时取得最大（最小）值，c取最大（最小）值时，a并不能同时取得最大（最小）值.学生听起来只能是迷迷糊糊的，不可能真正的理解得了的.第一种解

3、法的问题正在于此，由于忽略a和c的相互制约关系，所得到的取值范围比实际的范围要大.而第二种解法待定系数法整体上保持了a和c的相互制约关系，因而得出的范围是准确的，但是这种解法学生不容易想到，也不是很理解.数和形从来都是分不开的，如果等学习了线性规划的知识后，再来给学生解释解法一错误的原因学生理解起来就轻松多了.就是用画图形方法来解释不等式组与所表示的是平面区域是不一样的，前者表示的平面区域是后者表示的平面区域的子集，这样一来，第一种解法中用不等式的性质对不等式组进行变形时实质是扩大了平面区域.可以通过画图观

4、察到的确如此.把f(3)=9a-c看成目标函数z=9a-c，该函数在以上两种可行域下的最大值与最小值都是不一样的.函数在可行域下，当最优解为（3,1）时函数取最大值26，当最优解为（0,7）时函数取最小值-7；而函数在可行域下，当最优解为（0,1）时函数的最小值是-1，当最优解为（3,7）时，函数的最大值是20.再如2008年江西五校模拟：已知f(x)=(4a-3)x+b-2a,x∈[0,1],若f(x)≦2恒成立，求t=a+b的最大值也可以用线性规划的方法求解。像这样一类二元变量中中求解最值或是取值范围问

5、题时，线性规划解法就是问题解决的一个很不错的方法。