关于一类广义Riccati方程三个可积判据的注记.pdf

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1、第27卷第5期大学数学Vo1．27，№．52011年1O月COLLEGEMATHEMATICSOct．2O11关于一类广义Riccati方程三个可积判据的注记冯录祥(宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013)[摘要]通过变量变换的方法，将文Eli中一类广义Riccati方程的三个充分性判据统一起来，并加以推广．充分利用参数，的可变性揭示该结果与现有Riccati方程可积性间的关系，扩大了Riccati方程的可积性范围．‘[关键词]广义Riccati方程；可积判据；通解[中图分类号]O175．1[文献标识码]AE3t章

2、编号]1672—1454(2011)05—0098—051引言一阶非线性微分方程，特别是Riccati方程Y一P(x)y+Q(x)y+R(z)(1)一般是没有初等解的．自从1841年刘维尔在严格的数学理论上断言这类方程一般不能用初等积分法求其通解，便引起人们对常微分方程研究方向的反省，比如更加重视Cauchy解的局部理论．但是，用初等积分法研究微分方程一直不失其重要性．这是因为，能用初等积分法求解的方程虽属特殊类型，然而在实际应用中显得常见和重要．特别是Riccti方程在流体力学和弹性振动理论等领域有着广泛的应用，在

3、微分方程理论的发展中具有重要地位和作用，一直吸引着许多学者曾对其可积性做过大量的研究工作[1-15]，但这些结果间的关系却很少有人给出．陈明玉在文E1-]中给出了广义Riccti型方程J．f()丁uy；P()f()+Q(z)厂()+R(z)(2)U215的三个可积判据及其对应的参数形式的通积分，本文将把他们统一起来，并加以推广．它既揭示了三个可积判据间的关系，同时也包含了关于Riccati方程可积性的一批近现代结果．为方便，本文中的P，rQ，R都是oZ"的非零连续函数；a≠0，1及，是实常数，“I”表示被积函数的一个

4、确定的原函数．2主要结果及其证明定理1若存在常数A，使Riccati型方程(2)满足条件[(参){]一Q()吉+．R一。，(3)则方程(2)可积，且其参数形式的通积分为·1，R、言，‘y、)一IJ’(4)一()一dz+c，[收稿日期]2009—03—23；[修改日期]2009—06—05[基金项目]宝鸡文理学院重点科研项目(ZK1014)第5期冯录祥：关于一类广义Riccati方程三个可积判据的注记99证令()一·÷()吉，则·÷(笋)吉+甜[÷(]．把厂()，厂()dy的表达式代人Riccati型方程(2)，有，·

5、÷()÷+[{()÷]一()+·1(参)÷+R．．整理，即，·÷(参){+{{[()÷]一Q()÷)一Rc+．把条件(3)代人，有甜，·÷()古+÷(一R)一R(+1)，于是，一“()一专R(一++1)．分离变量，并积分即有』一R()一1dz+c，故Riccati型方程(2)可积，且其参数形式的通积分为(4)．推论1．1若存在常数使Riccati型方程(2)满足条件[()吉]一Q()吉-I-tcg=o，则方程(2)可积，且其参数形式的通积分为ff(Y)一()吉，jj'÷++1一foyer卜～计一c，’其中一()为参数

6、，C为任意常数．证在定理1中，取一1，并换乱为{，整理立得．注1推论1．1Y~zE1]中的定理2．推论1．2若存在常数使Riccati型方程(2)满足条件P：：=Re-，则方程(2)可积，且其参数形式的通积分为f(j，)==：．e，1』一+c，其中一()为参数，C为任意常数．证在定理1中，I[~A=-1，一0，并换为m吉·．据P—mRe，有Rk~of。如，于是()吉：一吉。Jq，进而有[()吉]一Q()吉+·R一一÷QeQ一Q一吉e缸=。．由定理1知方程(2)可积，且其参数形式的通积分为ff(Y)一m(R)i1，’f

7、l【J11·(1)瓮+Ou+1一．JfI·R‘(l＼D)／J一~dx+⋯c．100大学数学第27卷注意到{(){一e『a，上式即f，()=．e，1=+c．‘注2推论1．2~cE1]中的定理1．推论1．3若存在常数z，使Riccati型方程(2)满足条件f()一Q()+R一0，lP(e“+)。一lR一。，则方程(2)可积，且其参数形式的通积分为ff(y)一(e+)，1一¨c，其中一(z)为参数，C为任意常数．证据已知条件的第二式，R1(e+)。，于是()÷一z一{(e』+)，则÷(等)Pz=e+R．在定理1中，取：z一

8、{，则{()古一e出+，且(等)一一(e“+)～．又[()吉]一Q()吉+·R—z一[Qe』Q如+()]一一吉(+)+z～吉R=z一吉[()一Q()+R]一。，由定理1知方程(2)可积，且其参数形式的通积分为)一(e+)，1===RP蚪c．注3推论1．2为文[1]中的定理3．定理2若存在常数，使Riccati型方程y一P(z)+Q(x)y+R(